Параметрично неравенство (x-2a)(x+3a) < 0 е изпълнено за

[Гост]

1. За кои стойности на параметъра а неравенството (x-2a)(x+3a) ≤ 0 е изпълнено за всяко х [1;3] ?
2.За кои стойности на параметъра а най-малката стойност на функцията g(x)=ax^2-x+a e неотрицателна?

Моля ,ако някой знае как се решават и може да отдели време ,да помогне.Благодаря!

[Гост]

[tex]g(x)=ax^2-x+a[/tex]

За да има най-малка стойност, трябва [tex]a>0[/tex].

[tex]x_{0}=\frac{1}{2a}; \quad g(x_{0})=y_{0}=g_{\operatorname{min}}=a\left ( \frac{1}{2a} \right )^2 - \frac{1}{2a} + a = a.\frac{1}{4a^2}-\frac{1}{2a}+a = \frac{1}{4a}-\frac{1}{2a}+a = \frac{4a^2-1}{4a}[/tex]

Сега само решаваш

[tex]g(x_{0}) \ge 0 \Rightarrow \frac{4a^2-1}{4a} \ge 0 \Rightarrow 4a^2-1 \ge 0 \Rightarrow (2a)^2-1 \ge 0 \Rightarrow (2a+1)(2a-1) \ge 0 \Rightarrow 2a-1 \ge 0 \Rightarrow a \ge \frac{1}{2}[/tex].

[Xixibg]

Много ненужни неща правиш......
НДУ [tex]g(x)=ax^2+bx+c\ge 0[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}D\le 0\\a>0 \end{tabular}[/tex]

[Гост]

Защо ненужни? По-добре да обясним на детето откъде идва всичко, не просто да му цапардосваме някакви формули и да му казваме "Използвай ги". Да ти кажа честно, дори не се и сетих за твоята система.

[inveidar]

И двата начина са полезни и е чудесно, че задачата се решава така, защото учениците добиват много по-ясна картина за нещата, като се замислят върху тях. Предлагам в същия ход на мисли да се реши и подусловието: За кои стойности на реалния параметър а най-голямата стойност на функцията е неотрицателна? Даже си мисля, че това е добре да се реши преди другото.

[Anubis]

Аналогично на другото, което съм написал.

За да има [tex]g(x)=ax^2-x+a[/tex] НГС, трябва [tex]a<0[/tex]. Пак [tex]x_{0}=\frac{1}{2a}, \quad g(x_{0})=y_{0}=\frac{4a^2-1}{4a}[/tex].

Решаваме неравенството

[tex]g_{\operatorname{MAX}}=g(x_{0}) \ge 0 \Rightarrow \frac{4a^2-1}{4a} \ge 0 \Rightarrow 4a(4a^2-1) \ge 0 \Rightarrow 4a(2a+1)(2a-1) \ge 0[/tex].

Разделяме на [tex]4a(2a-1)>0[/tex], защото [tex]a<0[/tex], и получаваме [tex]2a+1 \ge 0 \Rightarrow a \ge -\frac{1}{2}[/tex].

Картинки при граничния случай [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex] и при [tex]a=-\frac{1}{3}[/tex].

[inveidar]

Е, така де.

[Anubis]

[inveidar]

Вярно е, казвам.