Неравенство |x^2-8x+15| < |15-x^2|

[Гост]

Да се реши неравенството [tex]|x^2-8x+15|\le |15-x^2|[/tex]

[ammornil]

Да се реши неравенството [tex]|x^2-8.x+15|\le |15-x^2|[/tex]
Намираме в кои точки всеки от изразите в модул става равен на нула.
[tex]x^{2}-8.x+15=0 \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} x_{_{1,2}}=4 \pm 1 \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} x_{_{1}}=3; \hspace{2} x_{_{2}}=5 \\
15-x^{2}=0 \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} x_{_{3,4}}= \pm \sqrt{15} \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} x_{_{3}}=-\sqrt{15}; \hspace{2} x_{_{4}}=\sqrt{15}[/tex]

Нанасяме корените на координатна ос и разглеждаме поведението на модулите (техния знак) в получените интервали. Когато изразите са с различни знаци, и левият израз е положителен, тогава условието на задачата не може да се изпълни, защото не може положително число да е по-малко или равно на отрицателно.

[tex]\cyr{interval} \hspace{36} |x^2-8.x+15| \hspace{36} |15-x^2| \\
(-\infty; -\sqrt{15}) \hspace{72} >0 \hspace{82} <0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e neizpylnimo}\\
-\sqrt{15} \hspace{122} >0 \hspace{82} =0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e neizpylnimo} \\
(-\sqrt{15}; 3) \hspace{98} >0 \hspace{82} >0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylnimo} \\
\hspace{20} 3 \hspace{122} =0 \hspace{82} >0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylneno} \forall x \cyr{v intervala} \\
(3; \sqrt{15}) \hspace{98} <0 \hspace{82} >0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylneno} \forall x \cyr{v intervala} \\
\sqrt{15} \hspace{122} <0 \hspace{82} =0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylneno} \forall x \cyr{v intervala} \\
(\sqrt{15}; 5) \hspace{98} <0 \hspace{82} <0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylnimo} \\
\hspace{20} 5 \hspace{122} =0 \hspace{82} <0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e neizpylnimo} \\
(5; \infty) \hspace{98} >0 \hspace{82} <0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e neizpylnimo}[/tex]

От таблицата се вижда, че за случаите когато [tex]x \in (-\infty;-\sqrt{15}] \cup [5; +\infty)[/tex] задачата няма реални решения.
Задачата винаги има решение за [tex]x \in [3;\sqrt{15}][/tex].
Остава да разгледаме още два интервала:
(a) [tex]x \in (-\sqrt{15}; 3) \Rightarrow \\
x^2-8.x+15 \le 15-x^2 \Rightarrow 2.x^{2}-8.x \le 0 \Rightarrow 2.x.(x-4) \le 0 \\
x \in [0;4] \cap (-\sqrt{15}; 3) \Rightarrow x \in [0;3)[/tex]

(б) [tex]x \in (\sqrt{15}; 5) \Rightarrow \\
-(x^2-8.x+15) \le -(15-x^2) \Rightarrow -x^2+8.x-15 \le -15+x^{2} \Rightarrow 2.x^{2}-8.x \ge 0 \Rightarrow 2.x.(x-4) \ge 0 \\
x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty) \cap (\sqrt{15}; 5) \Rightarrow x \in [4;5)[/tex]

Получаваме решения: [tex]x \in [0;3) \cup [3;\sqrt{15}] \cup [4;5)[/tex] откъдето получаваме
ОТГОВОР [tex]x \in [0; \sqrt{15}] \cup [4;5)[/tex]

[Добромир Глухаров]

Но например за [tex]x\in\[3;\sqrt{15}\],\ |x^2-8x+15|=-x^2+8x-15;\ |15-x^2|=15-x^2[/tex] и трябва да решим [tex]-x^2+8x-15\le15-x^2;\ x\le\frac{15}{4};\Rightarrow x\in\[3;\frac{15}{4}\][/tex] и окончателно [tex]x\in\[0;\frac{15}{4}\]\cup\[4;+\infty\)[/tex].
Къде ли бъркам?

[ganka simeonova]

Да се реши неравенството [tex]|x^2-8.x+15|\le |15-x^2|[/tex]
Намираме в кои точки всеки от изразите в модул става равен на нула.
[tex]x^{2}-8.x+15=0 \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} x_{_{1,2}}=4 \pm 1 \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} x_{_{1}}=3; \hspace{2} x_{_{2}}=5 \\
15-x^{2}=0 \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} x_{_{3,4}}= \pm \sqrt{15} \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} x_{_{3}}=-\sqrt{15}; \hspace{2} x_{_{4}}=\sqrt{15}[/tex]

Нанасяме корените на координатна ос и разглеждаме поведението на модулите (техния знак) в получените интервали. Когато изразите са с различни знаци, и левият израз е положителен, тогава условието на задачата не може да се изпълни, защото не може положително число да е по-малко или равно на отрицателно.

[tex]\cyr{interval} \hspace{36} |x^2-8.x+15| \hspace{36} |15-x^2| \\
(-\infty; -\sqrt{15}) \hspace{72} >0 \hspace{82} <0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e neizpylnimo}\\
-\sqrt{15} \hspace{122} >0 \hspace{82} =0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e neizpylnimo} \\
(-\sqrt{15}; 3) \hspace{98} >0 \hspace{82} >0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylnimo} \\
\hspace{20} 3 \hspace{122} =0 \hspace{82} >0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylneno} \forall x \cyr{v intervala} \\
(3; \sqrt{15}) \hspace{98} <0 \hspace{82} >0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylneno} \forall x \cyr{v intervala} \\
\sqrt{15} \hspace{122} <0 \hspace{82} =0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylneno} \forall x \cyr{v intervala} \\
(\sqrt{15}; 5) \hspace{98} <0 \hspace{82} <0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylnimo} \\
\hspace{20} 5 \hspace{122} =0 \hspace{82} <0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e neizpylnimo} \\
(5; \infty) \hspace{98} >0 \hspace{82} <0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e neizpylnimo}[/tex]

От таблицата се вижда, че за случаите когато [tex]x \in (-\infty;-\sqrt{15}] \cup [5; +\infty)[/tex] задачата няма реални решения.
Задачата винаги има решение за [tex]x \in [3;\sqrt{15}][/tex].
Остава да разгледаме още два интервала:
(a) [tex]x \in (-\sqrt{15}; 3) \Rightarrow \\
x^2-8.x+15 \le 15-x^2 \Rightarrow 2.x^{2}-8.x \le 0 \Rightarrow 2.x.(x-4) \le 0 \\
x \in [0;4] \cap (-\sqrt{15}; 3) \Rightarrow x \in [0;3)[/tex]

(б) [tex]x \in (\sqrt{15}; 5) \Rightarrow \\
-(x^2-8.x+15) \le -(15-x^2) \Rightarrow -x^2+8.x-15 \le -15+x^{2} \Rightarrow 2.x^{2}-8.x \ge 0 \Rightarrow 2.x.(x-4) \ge 0 \\
x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty) \cap (\sqrt{15}; 5) \Rightarrow x \in [4;5)[/tex]

Получаваме решения: [tex]x \in [0;3) \cup [3;\sqrt{15}] \cup [4;5)[/tex] откъдето получаваме
ОТГОВОР [tex]x \in [0; \sqrt{15}] \cup [4;5)[/tex]

Цитирам цялото ти мнение, защото нямам търпение да трия части от него! Според теб, след х=5 задачата н. р. Да проверим за х=6.
Това означава, че за при х=6, неравенството не се превръща във вярно числово неравенство. Да проверим:
[tex]|36-48+15|\le |15-36|[/tex]
[tex]|3|\le |21|[/tex], което е вярно...

[ganka simeonova]

Но например за [tex]x\in\[3;\sqrt{15}\],\ |x^2-8x+15|=-x^2+8x-15;\ |15-x^2|=15-x^2[/tex] и трябва да решим [tex]-x^2+8x-15\le15-x^2;\ x\le\frac{15}{4};\Rightarrow x\in\[3;\frac{15}{4}\][/tex] и окончателно [tex]x\in\[0;\frac{15}{4}\]\cup\[4;+\infty\)[/tex].
Къде ли бъркам?

Никъде не бъркаш:) Решението ти е абсолютно вярно..И моето е такова.

[ganka simeonova]

Да се реши неравенството [tex]|x^2-8.x+15|\le |15-x^2|[/tex]
Намираме в кои точки всеки от изразите в модул става равен на нула.
[tex]x^{2}-8.x+15=0 \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} x_{_{1,2}}=4 \pm 1 \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} x_{_{1}}=3; \hspace{2} x_{_{2}}=5 \\
15-x^{2}=0 \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} x_{_{3,4}}= \pm \sqrt{15} \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} x_{_{3}}=-\sqrt{15}; \hspace{2} x_{_{4}}=\sqrt{15}[/tex]

Нанасяме корените на координатна ос и разглеждаме поведението на модулите (техния знак) в получените интервали. Когато изразите са с различни знаци, и левият израз е положителен, тогава условието на задачата не може да се изпълни, защото не може положително число да е по-малко или равно на отрицателно.

[tex]\cyr{interval} \hspace{36} |x^2-8.x+15| \hspace{36} |15-x^2| \\
(-\infty; -\sqrt{15}) \hspace{72} >0 \hspace{82} <0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e neizpylnimo}\\
-\sqrt{15} \hspace{122} >0 \hspace{82} =0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e neizpylnimo} \\
(-\sqrt{15}; 3) \hspace{98} >0 \hspace{82} >0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylnimo} \\
\hspace{20} 3 \hspace{122} =0 \hspace{82} >0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylneno} \forall x \cyr{v intervala} \\
(3; \sqrt{15}) \hspace{98} <0 \hspace{82} >0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylneno} \forall x \cyr{v intervala} \\
\sqrt{15} \hspace{122} <0 \hspace{82} =0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylneno} \forall x \cyr{v intervala} \\
(\sqrt{15}; 5) \hspace{98} <0 \hspace{82} <0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e izpylnimo} \\
\hspace{20} 5 \hspace{122} =0 \hspace{82} <0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e neizpylnimo} \\
(5; \infty) \hspace{98} >0 \hspace{82} <0 \hspace{56} \cyr{uslovieto e neizpylnimo}[/tex]

От таблицата се вижда, че за случаите когато [tex]x \in (-\infty;-\sqrt{15}] \cup [5; +\infty)[/tex] задачата няма реални решения.
Задачата винаги има решение за [tex]x \in [3;\sqrt{15}][/tex].
Остава да разгледаме още два интервала:
(a) [tex]x \in (-\sqrt{15}; 3) \Rightarrow \\
x^2-8.x+15 \le 15-x^2 \Rightarrow 2.x^{2}-8.x \le 0 \Rightarrow 2.x.(x-4) \le 0 \\
x \in [0;4] \cap (-\sqrt{15}; 3) \Rightarrow x \in [0;3)[/tex]

(б) [tex]x \in (\sqrt{15}; 5) \Rightarrow \\
-(x^2-8.x+15) \le -(15-x^2) \Rightarrow -x^2+8.x-15 \le -15+x^{2} \Rightarrow 2.x^{2}-8.x \ge 0 \Rightarrow 2.x.(x-4) \ge 0 \\
x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty) \cap (\sqrt{15}; 5) \Rightarrow x \in [4;5)[/tex]

Получаваме решения: [tex]x \in [0;3) \cup [3;\sqrt{15}] \cup [4;5)[/tex] откъдето получаваме
ОТГОВОР [tex]x \in [0; \sqrt{15}] \cup [4;5)[/tex]

Извинявам се, но ти разглеждаш интервали на модулни функции. Всяка модулна функция е неотрицателна. Няма как да се получи <0 в даден интервал!

[ammornil]

Ами да, вместо да разкрия модулите по интервали, аз съм направил някаква странна задача...

[Xixibg]

защо не опитате това
[tex]|x^2-8x+15|\le|15-x^2|[/tex]
[tex]=>(x^2-8x+15)^2\le(15-x^2)^2[/tex]
[tex]=>(x^2-8x+15-15+x^2)(x^2-8x+15+15-x^2)\le 0[/tex]
[tex]=>16x(x-4)(x-\frac{15}{4})\ge 0[/tex]
И от тук с метода на интервалите директно получаваме:
[tex]=>x\in [0;\frac{15}{4}]\cup [4;\infty )[/tex]

[ammornil]

Понеже очевидно тази метерия ми е останала някъде във времето назад- питам:
повдигането на квадрат еквивалентоно преобразувание ли е при модулите.
Например:
[tex]-5 < -2, \cyr{no} (-5)^{2} > 2^{2}[/tex]
С модули обаче, това ще изглежда съвсем наред, защото [tex]|-5|>|2| \cyr{i} |-5|^{2}>|2|^{2}[/tex]
Как се доказва верността за многочлени и прави ли се проверка след като сме получили интервалите?