Правоъгълен триъгълник

[Гост]

2. В правоъгълния триъгълник АВС ъгъл ACB = 90° е прекарана ъглополовящата AD (D лежи BC) . Да се намерят ъглите на триъгълника, ако OD е перпендикулярна на ВС, където точка О е медицентърът на ΔАВС.

[Xixibg]

[tex]\triangle ABC \approx \triangle ODC (\angle ODC=\angle ACB=90^\circ ;\angle BAC=\angle DOC=\alpha)[/tex]
[tex]CM=\frac{1}{2}AB ; M\in AB[/tex] е медиана
[tex]=>O\in CM ; OC=\frac{2}{3}CM=\frac{1}{3}AB[/tex]
[tex]=>\frac{DC}{BC}=\frac{OC}{AB}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{AB} ; =>AC=\frac{1}{2}AB[/tex](Свойство на ъглополовящите)
[tex]=>\angle ABC=30^\circ ; =>\angle BAC=60^\circ[/tex] (Катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] -обратна теорема)