Задача с окръжност

[Гост]

През т. М, външна за окръжност, са построени допирателна MT и секуща МАВ, минаваща през центъра на окръжността. Да се докаже, че ако МТ:МВ=1:2, то АВ:МТ=3:2.

[Anubis]

Означаваме радиуса с [tex]r[/tex], [tex]MT = x, \quad MB = 2x[/tex]. Тогава [tex]MA=2x-2r[/tex].

[tex]MT^2 = MB.MA \Rightarrow x^2 = 2x (2x-2r) \Rightarrow x = 4(x-r) \Rightarrow r = \frac{3}{4}x \Rightarrow \frac{AB}{MT} = \frac{3}{2}[/tex]