Тригонометрични функции-докажете тъждеството :P

[Гост]

cosα+cos3+cos5α+cos7α=(sin8α)/2sinα
Аз събирам cosα+cos7α, cos3α+cos5α по формулата, получавам 2cos4α(2cos2α.cosα) и съм до тук. Моля ви за малко помощ

[mail_dinko]

Лявата час добре. Сега поработи с дясната
[tex]sin8 \alpha=2sin 4 \alpha cos 4\alpha= 2.2sin 2 \alpha cos 2 \alpha cos 4 \alpha=[/tex]
[tex]=8sin \alpha cos \alpha cos 2 \alpha cos 4 \alpha[/tex]
[tex]2cos 4 \alpha .2 cos 2 \alpha. cos \alpha = \frac{8sin \alpha cos \alpha cos 2 \alpha cos 4 \alpha}{2sin \alpha}[/tex]
[tex]4\cancel{cos 4 \alpha. cos 2 \alpha .cos \alpha }= \frac{8sin \alpha \cancel {cos \alpha cos 2 \alpha cos 4 \alpha}}{2sin \alpha}[/tex]
[tex]4=\frac {8 sin \alpha}{2sin \alpha}[/tex]
Пак съкращаваш и получаваш 1=1 равенството е тъждество

[Гост]

мерси много!

[Гост]

Ще може ли цяло решение на задачата?

[S.B.]

cosα+cos3+cos5α+cos7α=(sin8α)/2sinα
Аз събирам cosα+cos7α, cos3α+cos5α по формулата, получавам 2cos4α(2cos2α.cosα) и съм до тук. Моля ви за малко помощ

[tex]cos\alpha + cos3\alpha + cos5\alpha + cos7\alpha =[/tex]

$= (cos\alpha + cos7\alpha) + (cos3\alpha + cos5\alpha) = $

$= 2cos\frac{8\alpha}{2}.cos(-\frac{6\alpha}{2} )+ 2cos\frac{8\alpha}{2}.cos(-\frac{2\alpha}{2}) =$

$= 2cos4\alpha(cos3\alpha + cos\alpha) =$

$= 2cos4\alpha.2cos\frac{4\alpha}{2}.cos\frac{2\alpha}{2} = $

$= 2cos4\alpha . 2cos2\alpha. cos\alpha =$

$= \frac{2cos4\alpha.sin4\alpha}{sin4\alpha}.\frac{2cos2\alpha.sin2\alpha}{sin2\alpha} . \frac{2cos\alpha.sin\alpha}{2sin\alpha} = $

Скрит текст: покажи

умножавам и деля едновременно на едно и също нещо,така,че да се допълни числителя до удвоен ъгъл,без да се променя дробта

$= \frac{sin8\alpha}{sin4\alpha} . \frac{sin4\alpha}{sin2\alpha} . \frac{sin2\alpha}{2sin\alpha} =$

Скрит текст: покажи

Съкращавам и получавам:

$= \frac{sin8\alpha}{2sin\alpha}$