Намиране на елементи на равнобедрен трапец

[Sweet_dreams]

Задачата е следната :

В равнобедрен трапец с голяма основа "а" и остър ъгъл алфа е вписана окръжност. Намерете малката основа на трапеца и радиуса на вписаната окръжност.

Доста се затрудних. Надявам се отново да ми помогнете. Благодаря предварително!

[Xixibg]

[tex]b=\frac{a(1-cos \alpha)}{1+cos \alpha }[/tex]

[tex]r=\frac{\sqrt{a.b}}{2}=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{1+cos \alpha }}=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2sin^2 {\frac{\alpha }{2}}}{2.cos^2{\frac{\alpha }{2}}}}=\frac{a.sin{\frac{\alpha }{2}}}{cos{\frac{\alpha }{2}}}=\frac{a}{2}.tg{\frac{\alpha }{2}}[/tex]

[Sweet_dreams]

Благодаря много за отговора, но всъщност не разбрах първата част от решението. Откъде идва тази стойност на b?

[amsara]

Благодаря много за отговора, но всъщност не разбрах първата част от решението. Откъде идва тази стойност на b?

Oзначи си трапеца с ABCD. Спусни височините му CH и DF.
[tex]AF=HB= \frac{a-b}{ 2}[/tex]
От вписаната окръжност =>[tex]AB +CD = BC +AD <=> a+b= 2 BC => BC=\frac{a+b}{ 2}[/tex]
От [tex]\Delta BHC=> cos\alpha = BH:BC <=> cos\alpha = \frac{a-b}{ 2} : \frac{a+b}{2 }= \frac{a-b}{a+b }[/tex]
[tex]cos\alpha.a +cos\alpha.b = a-b <=>cos\alpha.b +b=a-a.cos\alpha[/tex]
[tex]b (1+cos\alpha)=a(1-cos\alpha) <=> b=\frac{a(1-cos\alpha) }{1+cos\alpha }[/tex]