задача по геометрия :)

[Гост]

За ▲ABC е известно, че α=\pi /7 β=2\pi /7 γ=4\pi /7. Да се докаже, че 1/a=1/b+1/c.

[Гост]

За ▲ABC е известно, че α=[tex]\pi[/tex] /7 β=2[tex]\pi[/tex] /7 γ=4[tex]\pi[/tex] /7. Да се докаже, че 1/a=1/b+1/c.

[Xixibg]

От Синусова теорема имаш:[tex]a=2R.sin {\frac{\pi }{7}};b=2R.sin {\frac{2\pi }{7}};c=2R.sin {\frac{4\pi }{7}};[/tex]
[tex]\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c} ; =>b.c=a(b+c) ; =>4R^2sin {\frac{2\pi }{7}}.sin {\frac{4\pi }{7}}=4R^2sin {\frac{\pi }{7}}(sin {\frac{2\pi }{7}}+sin {\frac{4\pi }{7}})[/tex]
[tex]=>sin {\frac{2\pi }{7}}.sin {\frac{4\pi }{7}}=2.sin {\frac{\pi }{7}}.sin {\frac{3\pi }{7}}.cos{\frac{\pi }{7}}[/tex]
[tex]=>\cancel{sin {\frac{2\pi }{7}}}.sin {\frac{4\pi }{7}}=\cancel{sin {\frac{2\pi }{7}}}.sin {\frac{3\pi }{7}}[/tex]
[tex]=>sin {\frac{4\pi }{7}}=sin {(\pi-\frac{4\pi }{7})}=sin {\frac{3\pi }{7}}[/tex]
с което задачата е доказана.