АВС със страни АВ=20 ВС=15 CA=10 търсят се височините

[Гост]

Здравейте! Моля някой ако може да ми почогне със следната задача:
Произволен триъгълник АВС със страни АВ=20 ВС=15 CA=10 търсят се височините към страна ВС и АС.

Благодаря предварително!

[Xixibg]

Прилагаш Херонова формула за лицето:[tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] и след това формулата [tex]S=\frac{a.h_a}{2}=\frac{b.h_b}{2}=\frac{c.h_c}{2}[/tex]
В твоя случай [tex]p=\frac{45}{2}; p-a=\frac{5}{2} ; p-b=\frac{15}{2}; p-c=\frac{25}{2} ; S=\frac{75\sqrt{15}}{4} ; h_a=\frac{15\sqrt{15}}{8} ; h_b=\frac{5\sqrt{15}}{2} ; h_c=\frac{15\sqrt{15}}{4}[/tex]

[metal4ever]

Прилагаш Херонова формула за лицето:[tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] и след това формулата [tex]S=\frac{a.h_a}{2}=\frac{b.h_b}{2}=\frac{c.h_c}{2}[/tex]
В твоя случай [tex]p=\frac{45}{2}; p-a=\frac{5}{2} ; p-b=\frac{15}{2}; p-c=\frac{25}{2} ; S=\frac{75\sqrt{15}}{4} ; h_a=\frac{15\sqrt{15}}{8} ; h_b=\frac{5\sqrt{15}}{2} ; h_c=\frac{15\sqrt{15}}{4}[/tex]

А със синус и косинус има ли начин да стане?

[Xixibg]

Първо да се извиня че в предишния пост съм отбелязал [tex]AB=a ; BC=b ; AC=c[/tex] , а не както е прието.

Има,
С Косинусова теорема намираш [tex]cos\alpha =\frac{11}{16} ;cos \beta =\frac{7}{8};cos\gamma =-\frac{1}{4}[/tex]
След това с формулата:[tex]sin^2 \alpha +cos^2\alpha =1[/tex] , намираш [tex]sin \alpha =\frac{3\sqrt{15}}{16} ; sin \beta =\frac{\sqrt{15}}{8} ; sin \gamma =\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex]
И накрая [tex]h_c=b.sin \alpha ;h_b=a.sin\gamma ; h_a=c.sin \beta[/tex]

Тук вече означенията са стандартни :[tex]AB=c ; BC=a ; AC=b ; \angle CAB=\alpha ;\angle ABC=\beta ;\angle ACB=\gamma[/tex]

[Гост]

Първо да се извиня че в предишния пост съм отбелязал [tex]AB=a ; BC=b ; AC=c[/tex] , а не както е прието.

Има,
С Косинусова теорема намираш [tex]cos\alpha =\frac{11}{16} ;cos \beta =\frac{7}{8};cos\gamma =-\frac{1}{4}[/tex]
След това с формулата:[tex]sin^2 \alpha +cos^2\alpha =1[/tex] , намираш [tex]sin \alpha =\frac{3\sqrt{15}}{16} ; sin \beta =\frac{\sqrt{15}}{8} ; sin \gamma =\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex]
И накрая [tex]h_c=b.sin \alpha ;h_b=a.sin\gamma ; h_a=c.sin \beta[/tex]

Тук вече означенията са стандартни :[tex]AB=c ; BC=a ; AC=b ; \angle CAB=\alpha ;\angle ABC=\beta ;\angle ACB=\gamma[/tex]

Последен въпрос... на какво основание cos\alpha =\frac{11}{16} ;cos \beta =\frac{7}{8};cos\gamma =-\frac{1}{4} ?

[Xixibg]

Ами аз съм написал.На основание Косинусова теорема.
Това е за ъгъл [tex]\alpha[/tex] , а по аналогичен начин смяташ и за другите 2 ъгъла.

[tex]BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cos \alpha[/tex]

[tex]15^2=20^2+10^2-2.20.10.cos \alpha[/tex]

[tex]cos \alpha =\frac{400+100-225}{2.20.10}=\frac{11}{16}[/tex]