Задача от лица

[someone]

Здравейте, предлагам Ви следната задача:
Основите на трапец са 5 и 10 см. Диагоналите му са перпендикулярни, а ъгълът между продълженията на бедрата му е [tex]60^\circ[/tex]. Да се намери лицето му.
Въпросът ми не е конкретно по решението, а по-скоро искам да видя какво ще получите, тъй като аз получавам, че такава конфигурация е невъзможна.

[Anubis]

[tex]AB^2+CD^2=AD^2+BC^2 \Rightarrow BC^2=125-x^2[/tex]

[tex]KB^2=KC^2+BC^2-2 \cdot KC \cdot BC \cdot \cos 60^\circ \Rightarrow x \sqrt{125-x^2}=100 \Rightarrow f(x) = g(x)[/tex]

От графиката се вижда, че двете линии [tex]f(x)=x \sqrt{125-x^2}[/tex] (кривата) и [tex]g(x)=100[/tex] (правата) не се пресичат

никъде в дефиниционния интервал, т. е. това уравнение няма решение.

Задачата обаче е определена при [tex]\alpha=30^\circ[/tex].

[Гост]

[tex]AB^2+CD^2=AD^2+BC^2 \Rightarrow BC^2=125-x^2[/tex]
.

И защо? Това според мен не е вярно.
Ако означим [tex]AB=a; CD=b; AD=c; CN=d; BD=d_!; AC=d_2=>d_1^2+d_2^2=d^2+c^2+2ab[/tex]- зависимост за трапец.
[tex]d_1\bot d_2=>d_1^2+d_2^2=(a+b)^2=225=>d^2+c^2=125[/tex]Ако пренесем едното бедро, успоредно на другото, ще получим триъгълник със страни [tex]a-b=5; c; d; <(c; d)=60^\circ[/tex] .Прилагаме косинусова т-ма за този триъгълник=>[tex]25=c^2+d^2-cd=>cd=100; S=\frac{cd}{ 2} . sin60^\circ =25\sqrt{3} =>25\sqrt{3} =\frac{1}{ 2}.10.h[/tex]намираме височината на трапеца.

[someone]

Да, Гост, подходът ти е верен и като отговор в сборника, от който е задачата, е посочен този отговор. Но ти си намерил
[tex]c^2 + d^2 = 100[/tex] и [tex]cd = 100[/tex]. Оттук [tex]0 \le (c-d)^2 = c^2 + d^2 - 2cd = 125 - 200 = -75[/tex], противоречие. Ето това беше моят начин за достигане на противоречие. На Anubis е също верен, тази зависимост, която питаш откъде идва, идва от Питагорови теореми, приложени за четирите триъгълници, които се образуват при пресичането на диагоналите.

[Anubis]

Защо да не е вярно?

[tex]AO^2+BO^2=AB^2\quad (1)[/tex]

[tex]CO^2+DO^2=CD^2 \quad (2)[/tex]

[tex]AO^2+DO^2=AD^2 \quad (3)[/tex]

[tex]BO^2+CO^2=BC^2 \quad (4)[/tex]

[tex]\begin{array}{||}(1)-(4) \quad \Rightarrow \quad AO^2-CO^2=AB^2-BC^2 \\ (2)-(3) \quad \Rightarrow \quad CO^2-AO^2=CD^2-AD^2 \end{array} \quad \Rightarrow \quad AB^2+CD^2 = BC^2+AD^2[/tex]