Трапец

[Гост]

Даден е трапец ABCD с пресечна точка О. Намерете литцето на триъгълника AOD ако лицето на AOB е равен на S1 и лицето на COD е равен на S2

[darinalazarova73]

т.О е прес. точка на диагоналите.Ще док.,че лицето на тр-к АОD е равно на лицето на тр-к СОВ.
S(ACD)=(CD.AH)/2=S(ВСD) /вадим S(DOC)
S(AOD)=S(COB)
Oзначаваме лицето на тр-к АОD с-S,a височината на трпеца минаваща през т.О с Н1Н2,като т.Н1 е от АВ,т.Н2 е от СD.
S+S1+S+S2=S(ABCD)
2S+S1+S2=((AB+CD)H1H2)/2
2S+S1+S2=((AB+CD)(OH1+OH2))/2
2S+S1+S2=(AB.OH1)/2+(AB.OH2)/2+(CD.OH1)/2+(CD.OH2)/2
2S+S1+S2=S1+(AB.OH2.OH1)/(2OH1)+(CD.OH1.OH2)/(2OH2)+S2
2S=S1(OH2/OH1)+S2(OH1/OH2) (1)
тр-те АВО и СDO са подобни по 1 признак
(ОH1^2)/(OH2^2)=S1/S2 ,тогава
ОH1/OH2=корен кв.отS1/корен кв.отS2
и OH2/OH1=корен кв.отS2/корен кв.отS1
зам.в(1) ...S=S1S2/корен кв.от(S1S2)=корен кв.от(S1S2)

[Knowledge Greedy]

[tex]\frac{S}{S_1}=\frac{DO}{BO}=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}[/tex]
Първото равенство идва от факта, че [tex]\Delta AOD[/tex] и [tex]\Delta AOB[/tex] имат една и съща височина (към правата на диагонала [tex]BD[/tex] - съдържащ основите им [tex]DO[/tex] и [tex]BO[/tex]), която се съкращава.
Второто равенство е следствие на добре известния факт, че отношението на лицата на два подобни триъгълника [tex]\Delta COD[/tex] и [tex]\Delta AOB[/tex] е равно на квадрата на коефициента на подобие (който е [tex]\frac{CD}{AB}=\frac{DO}{BO}=...[/tex]).
Остава от равенството [tex]\frac{S}{S_1}=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}[/tex] да изразим търсеното [tex]S=\sqrt{S_1S_2}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Досадна печатна грешка.
Второто (дясното) равенство да се чете [tex]\frac{DO}{BO}=\sqrt{\frac{S_2}{S_1}}[/tex]