формули за лице на триъгълник

[Гост]

Докажете, че за всеки триъгълник са верни формулите:
А) S= [tex]\sqrt{2R.ha.hb.hc}[/tex] : 2
Б)S=[tex]\sqrt{R.r.(ha.hb+ha.hc+hb.hc):2}[/tex]
В)S=p(p-a)tg(α/2)
Д)S=r².cotg(α/2).cotg(β/2).cotg(γ/2)

[ева]

a)
S[tex]\triangle[/tex]=[tex]\frac{a.ha}{2}[/tex]
2S=a.ha /.bc
2bcS=abcha
2bc.[tex]\frac{abc}{4R}[/tex]=abcha
bc=2Rha /:bc
1=[tex]\frac{2Rha}{bc}[/tex] /.[tex]a^{2}[/tex][tex]ha^{2}[/tex]
[tex](aha)^{2}[/tex]=[tex]\frac{2Rha(aha)(aha)}{bc}[/tex]
но [tex]\frac{aha}{b}[/tex]=hb;[tex]\frac{aha}{c}[/tex]=hc[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex](aha)^{2}[/tex]=2Rhahbhc /:4
[tex]\frac{1}{4}[/tex][tex]a^{2}[/tex][tex]ha^{2}[/tex]=[tex]\frac{Rha.hb.hc}{2}[/tex]
[tex]S^{2}[/tex][tex]\triangle[/tex]=[tex]\frac{Rha.hb.hc}{2}[/tex]
S=[tex]\sqrt{\frac{R.ha.hb.hc}{2}}[/tex]
S=[tex]\frac{\sqrt{2R.ha.hb.hc}}{2}[/tex]

[ева]

т.Н,т.М,т.N-са допирните т.на вписаната окр. К и страните АВ,ВС,АС.
В правоъг. [tex]\triangle[/tex]АНО [tex]\angle[/tex]НАО=[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{OH}{AH}[/tex];tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{r}{AH}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]r=AH.tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] (1)
AH=? P[tex]\triangle[/tex]ABC=AH+BH+BM+MC+CN+AN
2p=2AH+2BM+2CM/:2
AH=p-(BM+CM)[tex]\Rightarrow[/tex]AH=p-a (2)
тогава S[tex]\triangle[/tex]=p.r=p.AHtg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=p(p-a)tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]

[ева]

Б)pr=S[tex]\triangle[/tex]
[tex]\frac{pr}{S}[/tex]=1
[tex]\frac{r(a+b+c)}{2S}[/tex]=1
r([tex]\frac{a}{2S}[/tex]+[tex]\frac{b}{2S}[/tex]+[tex]\frac{c}{2S}[/tex])=1
r([tex]\frac{1}{\frac{2S}{a}}[/tex]+[tex]\frac{1}{\frac{2S}{b}}[/tex]+[tex]\frac{1}{\frac{2S}{c}}[/tex])=1
r([tex]\frac{1}{ha}[/tex]+[tex]\frac{1}{hb}[/tex]+[tex]\frac{1}{hc}[/tex])=1
r([tex]\frac{hb.hc+ha.hc+ha.hb}{ha.hb.hc}[/tex])=1
от А) знаем ha.hb.hc=[tex]\frac{2S^{2}}{R}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{r(hb.hc+ha.hc+ha.hb)}{\frac{2S^{2}}{R}}[/tex]=1
[tex]\frac{rR(hb.hc+ha.hc+ha.hb}{2S^{2}}[/tex]=1
2[tex]S^{2}[/tex]=rR(hb.hc+ha.hc+ha.hb)
S=[tex]\sqrt{\frac{rR(hb.hc+ha.hc+ha.hb)}{2}}[/tex]

[ева]

Да вземем означенията и доказаното ,че АН=р-а;ВМ=р-b;CN=р-с (1) от В)
S= [tex]\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] от(1)[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]S^{2}[/tex]=p.AH.BM.CN
[tex]S^{2}[/tex]=[tex]\frac{p.AH.BM,CN.r^{3}}{r^{3}}[/tex],където r-радиус на впис.окр.
[tex]S^{2}[/tex]=p.[tex]r^{3}[/tex].cotg([tex]\frac{\alpha}{2})[/tex]cotg([tex]\frac{\beta}{2})cotg(\frac{\gamma}{2})[/tex]
[tex]S^{2}[/tex]=S[tex]r^{2}[/tex].cotg([tex]\frac{\alpha}{2})[/tex]cotg([tex]\frac{\beta}{2}[/tex])cotg([tex]\frac{\gamma}{2})[/tex]
S=[tex]r^{2}[/tex]cotg([tex]\frac{\alpha}{2})[/tex]cotg([tex]\frac{\beta}{2})[/tex]cotg([tex]\frac{\gamma}{2})[/tex]