Равностранен триъгълник вписан в друг равностранен триъгълни

[nikostotel]

Много съм благодарен за предния път, но сега отново имам нужда от помощ. Ето я и задачата - В равностранен триъгълник ABC е вписан равностранен A1B1C1 така, че A1 [tex]\in[/tex] BC, B1 [tex]\in[/tex] AC, C1 [tex]\in[/tex] AB и [tex]\angle[/tex] A1B1C = [tex]\alpha[/tex]. Отношението AB:A1B1 е равно на:
Отговора е 2 по корен от 3 върху 2 по (в скоби) sin алфа + sin от 120 градуса минус алфа. Трябва ми самото решение. Благодаря предварително!

[math10.com]

[tex]\triangle AB_1C_1,\triangle BC_1A_1,\triangle CA_1B_1[/tex] са еднакви

[tex]AB=BC=CA=a , A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1=a_1 ,AB_1=BC_1=CA_1=x , AC_1=BA_1=CB_1=a-x[/tex]

[tex]\angle CB_1A_1=\angle AC_1B_1=\angle BA_1C_1=\alpha ,\angle AB_1C_1=\angle BC_1A_1=\angle CA_1B_1[/tex]

От синусова теорема за [tex]\triangle A_1B_1C[/tex] получаваме [tex]\frac{x}{sin \alpha}=\frac{a-x}{sin {(120^\circ -\alpha)}}=\frac{a_1}{sin 60^\circ }[/tex]

Следователно [tex]\frac{x}{sin \alpha}[sin \alpha+sin {(120^\circ -\alpha)}]=a[/tex]

[tex]\frac{a_1}{sin 60^\circ }[sin \alpha+sin {(120^\circ -\alpha)}]=a[/tex]

[tex]\frac{a}{a_1}=\frac{sin \alpha+sin {(120^\circ -\alpha)}}{sin 60^\circ }=\frac{2\sqrt{3}[sin \alpha+sin {(120^\circ -\alpha)}]}{3}[/tex]