Интересна/трудна задача с успоредник

[Гост]

Точките M и N са средите съответно на страните CD и AD на успоредника ABCD. Правите AM и BN се пресичат в точка P. Каква част от лицето на успоредника ABCD е лицето на триъгълника ANP. Отговор- 1/20.


Може ли някой да помогне като ми каже стъпките на решаване?

[ева]

Досещаме се да построим т.Т-среда на отс.АМ;АВ=а;h-височина от т.D към АВ.
NT-ср.отс.в[tex]\triangle[/tex]AMD[tex]\Rightarrow[/tex]NT е успор.на DM е успор.на АВ[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\triangle[/tex]АВР е подобен на [tex]\triangle[/tex]NPT (1пр.)[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{NT^{2}}{AB^{2}}[/tex]=[tex]\frac{S(NPT)}{S(ABP)}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]S(NPT)=[tex]\frac{S(ABP)}{16}[/tex] (1)
ето идеята S[tex]\triangle[/tex]APN=S[tex]\triangle[/tex]ATN-S[tex]\triangle[/tex]NPT=(от(1))[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{a}{4}[/tex].[tex]\frac{h}{2}[/tex]-[tex]\frac{S(ABP)}{16}[/tex]=[tex]\frac{ah}{16}[/tex]-[tex]\frac{S(ABP)}{16}[/tex]=
=[tex]\frac{S(ABCD)}{16}[/tex]-[tex]\frac{S(ABN)-S(APN)}{16}[/tex]=
=[tex]\frac{1}{16}[/tex](S(ABCD)-[tex]\frac{ah}{4}[/tex]+S(APN))=
=[tex]\frac{1}{16}[/tex](S(ABCD)-[tex]\frac{S(ABCD)}{4}[/tex]+S(APN))
получихме S[tex]\triangle[/tex]APN=[tex]\frac{1}{16}[/tex]([tex]\frac{3}{4}[/tex]S(ABCD)+S[tex]\triangle[/tex]APN) ...
S[tex]\triangle[/tex]APN=[tex]\frac{1}{20}[/tex]S(ABCD)