Лице на триъгълник

[Гост]

Две от страните на остроъгълен триъгълник са 13см и 15см., а лицето му е 84кв.см. Да се намери дължината на третата му страна.

[monika_at]

От лицето намери синуса на ъгъла между дадените страни, после косинуса от основното тригонометрично равенство и после косинусова теорема.

[Гост]

Около 5 пъти се опитвах да я реша и знам, че е супер елементарна. Обаче нищо не се получава... Ще съм много благодарен, ако напишеш решението.

[mail_dinko]

Аз използвам формулата на Херон за намиране на лице
[tex]S=\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
[tex]a=13[/tex]
[tex]b=15[/tex]
[tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex] - полупериметър
[tex]p= \frac {13+15+c}{2}=\frac{28+c}{2}[/tex]
[tex]p-a=\frac{28+c}{2}-13=\frac{c+2}{2}[/tex]
[tex]p-b=\frac{28+c}{2}-15=\frac{c-2}{2}[/tex]
[tex]p-c=\frac{28+c}{2}-c=\frac{28-c}{2}[/tex]
Лицето го знаем колко е. Заместваме и решаваме уравнението
[tex]84=\sqrt {\frac{28+c}{2}.\frac{c+2}{2}.\frac{c-2}{2}. \frac{28-c}{2} }[/tex]
[tex]84=\sqrt {\frac{28+c}{2}. \frac{28-c}{2}.\frac{c+2}{2}.\frac{c-2}{2} }[/tex]
Изнасяме от корена [tex]\frac14[/tex]. После умножаваме по 4 двете страни
[tex]84=\frac14 \sqrt {(28-x)(28+x)(x-2)(x+2)} |.4[/tex]
[tex]336= \sqrt {(28-x)(28+x)(x-2)(x+2)}[/tex]
След като повдигнем двете страни на квадрат получаваме
[tex]112896=(28-x)(28+x)(x-2)(x+2)[/tex]
[tex]112896=(28^2-x^2)(x^2-4)[/tex]
[tex]112896=(784-x^2)(x^2-4)[/tex]
[tex]112896=784x^2-3136-x^4+4x^2[/tex]
[tex]x^4-788x^2+116032=0[/tex]
Става биквадратно. Полагаме [tex]\fbox {x^2=t>0}[/tex] и работим по СЪКРАТЕНАТА формула
[tex]t^2-788t+116032=0[/tex]
[tex]D=k^2-ac=394^2-116032=155236-116032=39204=198^2[/tex]
[tex]t_{1,2}=\frac {-k \pm \sqrt {D}}{a}=394 \pm 198[/tex]
[tex]t_1=592--->x=\sqrt {t}=4\sqrt {37}[/tex]
[tex]t_2=196--->x=\sqrt {t}=14[/tex]
ИЗВИНЯВАЙ ДО НЯКЪДЕ СЪМ ИЗПОЛЗВАЛ c, ПОСЛЕ СЪМ ЗАПОЧНАЛ С x
И така за страната c получихме два варианта [tex]4 \sqrt {37}[/tex] и [tex]14[/tex]
Някъде из учебника (за клас, в който се учи косинусова теорема) има едни неравенства с КВАДРАТИТЕ на трите страни - като заместиш, ти показва какъв е триъгълника, но формулите не ги знам и не можах да ги намеря в четиризначната таблица. Те са като ''нещо преобразувано'' от косинусова теорема.
Оправяй се сам(а) нататък, не е трудно

[monika_at]

Динко, не се сърди, но решението ти е много хард:)

[tex]a=13, b=15=>S=\frac{1}{2 } absin\gamma =>sin\gamma =\frac{56}{ 65} =>cos\gamma =\frac{33}{ 56}[/tex]взимаме

положителната стойност, защото по услови триъгълникът е остроъгълен.И една косинусова теорема:

[tex]c^2=13^2+15^2-2.13.15.\frac{33}{ 56}=196=>c=14[/tex]

[mail_dinko]

Аз не се сърдя, даже още като го писах го видях, че е много дълго и тежко. Бих си ползвал Херон, защото няма да сетя за тази формула. Аз като решавам задача, не развявам четиризначните таблици пред себе си и тук може би ми е грешката. За която формула се сетя, нея ползвам