Кога е остроъгълен триъгълник?

[Гост]

Числата x, x+2, x-3 са дължини на страните на остроъгълен триъгълник тогава и само тогава, когато:
А.) x [tex]\in[/tex] (5; [tex]\infty[/tex] ) ; Б.) x [tex]\in[/tex] (3;5) : В.) x [tex]\in[/tex] ( 5- 2√5: 5+ 2√5);
Г.) x [tex]\in[/tex] (5; 5+2√5); Д.) x [tex]\in[/tex] (5+2√5; [tex]\infty[/tex] ) Нямам никакви идеи за тази задача, ще се радвам ако някой помогне.

[Добромир Глухаров]

За да бъдат х,х+2,х-3 страни на триъгълник, трябва да са положителни и всяка от тях да е по-малка от сумата на другите две. Понеже в случая страните са изразени с х и се вижда кои са най-голямата и най-малката, можем да си спестим труда и да поставим само две условия: Най-малката да е положителна: х-3>0 и най-голямата да е по-малка от сбора на другите две: х+2<2х-3. Така получаваме х>5.

Сега, за да е остроъгълен триъгълникът, трябва най-големият ъгъл да бъде по-малък от 90 градуса, т.е. [tex]\alpha_{max}<90^\circ\ \Rightarrow\ cos(\alpha_{max})>0[/tex].

Но от Косинусова теорема [tex]cos(\alpha_{max})=\frac{x^2+(x-3)^2-(x+2)^2}{2x(x-3)}[/tex]. Знаменателят е положителен при х>5. Следователно трябва да решим неравенството [tex]x^2+(x-3)^2-(x+2)^2>0\ \Rightarrow\ x^2-10x+5>0\ \Rightarrow\ x\in\(-\infty;5-2\sqrt{5}\)\cup\(5+2\sqrt{5};+\infty\)[/tex]. Засичаме с [tex]x>5[/tex] и получаваме [tex]x\in\(5+2\sqrt{5};+\infty\)[/tex].

[Гост]

Мерси! Много ми помогна.