Стойностите на параметъра m

[Гост]

Здравейте! Може ли някой да ми обясни как се решават задачи като тази:
Намерете стойностите на параметъра m, за които уравнението [tex](x^2-2x-1)^2-m(x^2-2x)+m+4=0[/tex] има решение.
Благодаря предварително.

[pal702004]

Има реален корен.
Тук е удобно да вземеш за нова променлива [tex]t=x^2-2x+1=(x-1)^2[/tex] и да търсиш при какви стойности на параметъра m уравнението [tex](t-2)^2-m(t-1)+m+4[/tex] има неотрицателен корен.

[monika_at]

Има реален корен.
Тук е удобно да вземеш за нова променлива [tex]t=x^2-2x+1=(x-1)^2[/tex] и да търсиш при какви стойности на параметъра m уравнението [tex](t-2)^2-m(t-1)+m+4[/tex] има неотрицателен корен.

И това уравнение с каква нова променлива е?


[tex](x^2-2x-1)^2-m(x^2-2x-1)-4=0[/tex] Полагаме: [tex]x^2-2x-1=t=>t^2-mt-4=0[/tex]

Трябва да намерим стойностите на изменение на функцията [tex]x^2-2x-1=t[/tex]
Това е квадратна функция, която достига НМС при [tex]x=1[/tex], и тази НМС е [tex]1^2-2.1-1=-2=>t\in [-2; +\infty )[/tex]
Задачата се свежда до намирането стойностите на параметъра, за които полученото уравнение има поне един корен (един или два) в разглеждания интервал.

[pal702004]

И това уравнение с каква нова променлива е?

Определено новата променлива е t.
[tex]t^2-(4+m)t+2m+8=0[/tex] Необходимо и достатъчно е уравнението да има неотрицателен корен.
[tex]D=m^2-16[/tex]
[tex]m \in (-\infty,-4] \cup [4,+\infty)[/tex]
Тук на помощ идва и Виет - в единият случай корените са с различен знак (значи има неотрицателен), в другият - и двата са положителни

Задачата се свежда до намирането стойностите на параметъра, за които полученото уравнение има поне един корен (един или два) в разглеждания интервал.

Ако съм ви разбрал правилно, уравнението е [tex]t^2-mt-4=0[/tex], а интервалът [tex]t \in [-2;+\infty)[/tex] Корените са реални, доколкото съм запознат с формулите на Виет, единият корен винаги е положителен, тоест, попада в интервала...според вас уравнението има реални корени независимо от m?

Ясно, допусната е техническа грешка. В условието е +4, а у Вас -4. Иначе всичко е точно, принципна разлика в решенията няма.