Стойностите на параметъра m, така че да е изпълнено

[Гост]

Бях болен и отсъствах от училище. Този тип задачи от учебника не мога да ги разбера, някой който разбира може ли да ми ги обясни по-подробно? Много ще съм благодарен.
Намерете стойностите на параметъра m така, че за неравенството [tex](m-6)x^2+2(m-10)x+m+2>0[/tex] е изпълнено:
а)всяко [tex]x\in R[/tex]
б) има решение в интервала (-2;-1)
в)всички негови решения са в интервала (-3;0)
г)всяко [tex]x\in (-2;1)[/tex] е негово решение

[Knowledge Greedy]

Намерете стойностите на параметъра m така, че за неравенството [tex](m-6)x^2+2(m-10)x+m+2>0[/tex] е изпълнено:
а) за всяко [tex]x\in R[/tex]
Решение:
При [tex]m=6[/tex] неравенството не е квадратно. То е линейно, с решения [tex]\forall x>-1.[/tex] Значи не всяко число е решение. При [tex]m\ne 6[/tex] има смисъл да търсим дискриминанта – неравенството е квадратно. [tex]D=4(m-10)^2-4(m-6).(m+2)[/tex].
Една е възможността [tex]\forall x[/tex] да е решение:[tex]\left|\begin{matrix}
D <0 \\
m-6 >0
\end{matrix}\right|[/tex]
[tex]D <0\Leftrightarrow m>7.[/tex]Оттук [tex]m>7.[/tex]
Намерете стойностите на параметъра m така, че за неравенството [tex](m-6)x^2+2(m-10)x+m+2>0[/tex] е изпълнено:
б) има решение в интервала (-2;-1).
Нека неравенството има решение в интервала [tex]x_0\in (-2;-1).[/tex]
[tex](m-6)x_0^2+2(m-10)x_0+m+2>0[/tex][tex]\Leftrightarrow mx_0^2+2mx_0+m>6x_0^2+20x_0-2[/tex][tex]\Leftrightarrow m(x_{0}-1)^2>6x^2+20x-2.[/tex] Тъй като [tex]1\notin(-2;-1)[/tex], то може да разделим на [tex](x_{0}-1)^2[/tex] и оценяваме [tex]m>6+\frac{32}{x_0-1 }+\frac{24}{(x_{0}-1)^2 }[/tex] [tex](*)[/tex]
От [tex]-2<x_0<-1[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]-3<x_0-1<-2[/tex] , следва:
[tex]-\frac{2}{2 }<\frac{2}{x_0-1}<-\frac{2}{3 }.[/tex] Полагаме [tex]\frac{2}{x_0-1}=t.[/tex] Изследваме квадратния тричлен [tex]\varphi(t)=6t^2+16t+6,[/tex] (дясната страна на [tex](*)[/tex]) когато [tex]t\in [-1;-\frac{2}{3} ].[/tex] Явно [tex]min\varphi(t)=-4[/tex] и оттук следва, че при [tex]m>-4[/tex] даденото неравенство ще има поне едно решение в интервала (-2;-1).
Намерете стойностите на параметъра m така,
че за неравенството [tex]f(x)=(m-6)x^2+2(m-10)x+m+2>0[/tex] е изпълнено:
в) всички негови решения са в интервала (-3;0).
За да се включва нулата като край на интервал е необходимо свободният член [tex]m+2=0,[/tex] ето защо [tex]m=-2.[/tex] След заместване леко проверяваме, че е вярно [tex]x\in (-3;0).[/tex]
Намерете стойностите на параметъра m така,
че за неравенството [tex]f(x)=(m-6)x^2+2(m-10)x+m+2>0[/tex] е изпълнено:
г) всяко [tex]x\in (-2;1)[/tex] е негово решение.
Възможностите са следните: [tex]\left|\begin{matrix}
m-6 & > 0\\
D& <0
\end{matrix}\right|[/tex][tex]\Leftrightarrow m>7,[/tex] (виж подусловие а)- щом е вярно за всяко [tex]x[/tex], ще е вярно и за ...);
[tex]\left|\begin{matrix}
m-6 > 0 \\
D \ge 0 \\
f(-2) >0 \\
-\frac{2(m-10)}{2(m-6)}<-2
\end{matrix}\right|[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] няма решения;

[tex]\left|\begin{matrix}
m-6 > 0 \\
D \ge 0 \\
f(-1) >0 \\
-\frac{2(m-10)}{2(m-6)}>1
\end{matrix}\right|[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]няма решения;

[tex]\left|\begin{matrix}
m-6 < 0 \\
D \ge 0 \\
f(1) > 0 \\
f(-2)>0
\end{matrix}\right|[/tex]- без решения.
Тези случаи произлизат от разположението на графиката на квадратния тричлен f(x) спрямо интервала (-2;1). Отговор на г) [tex]m>7.[/tex]

Графиките към парам задача с m и D.doc

Графиките към задача Г)

(31 KiB) 78 пъти