Рационални неравенства (x-1)(x+2)(x-5)<0

[Гост]

здравейте,
задача 1 (x-1)(x+2)(x-5)<0
задача 2 2x^2+x-1>0
задача 3 (x^2-4)(x-1)\le 0

[Knowledge Greedy]

Задача 1. (x+2)(x-1)(x-5)<0
Решение: произведението се състои от три множителя и трябва да е отрицателно.
Възможностите са четири.
I. Всички множители са отрицателни.
[tex]\left |\begin{matrix}
x+2 & <0\\
x-1 & <0 \\
x-5 & <0
\end{matrix}\right.[/tex] Тази система е равносилна на [tex]\left |\begin{matrix}
x & <-2 \\
x & <1 \\
x & <5
\end{matrix}\right[/tex]. Значи [tex]x\in (-\infty ,-2)[/tex]
II.1. Първите два множителя са положителни, а последният е отрицателен [tex]\left |\begin{matrix}
x+2 & >0\\
x-1 & >0 \\
x-5 & <0
\end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\left |\begin{matrix}
x & >-2 \\
x & >1 \\
x & <5
\end{matrix}\right[/tex]. Решенията в случая са [tex]x\in (1; 5).[/tex]
II.2. Първият и третият са положителни, а средният - отрицателен. Решения в този случай няма.
II.3. Вторият и третият са положителни, а първият - отрицателен. Решения и в този случай няма.
[tex]\left |\begin{matrix}
x+2 & <0\\
x-1 & >0 \\
x-5 & >0
\end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\left |\begin{matrix}
x & <-2 \\
x & >1 \\
x & >5
\end{matrix}\right[/tex] - не е възможно за едно и също [tex]x[/tex] да е изпълнено и [tex]x <-2[/tex] и [tex]x >1[/tex].
Окончателно отговорът на задачата е всяко число [tex]x\in (-\infty ,-2)\cup (1; 5).[/tex]

В по-големите класове се учи и по-бърз метод, наречен "метод на интервалите" или "метод на змията". Той ни спестява много време и място, затова си заслужава да бъде научен.

В задача 2) ще помогна само с разлагането на множители. Останалото е по същия начин. [tex]2x^{2}+x-1>0[/tex] представяме така: [tex]2(x+1)(x-\frac{1}{2 }) >0[/tex]. Тук се иска произведението да е положително, затова възможностите са две - и двата множителя да са положителни; - и двата множителя да са отрицателни... .

[monika_at]

Какво е това чудо? Задачата е пусната в раздел 10 клас, точно когато се изучава МИ.