Докажете тъждествата

[Гост]

Докажетe,че синус[tex]\alpha[/tex] / 1- косинус\alpha е равно на 1+косинус\alpha / синус\alpha .

[Гост]

ами освободи се от знаменателите

[Knowledge Greedy]

Предполагамe, че уважаемият Гост знае питагоровата теорема написана във вида
[tex]sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha=1[/tex].
А също така един друг неин запис - например [tex]sin^{2}\alpha =1 - cos^{2}\alpha[/tex].
Ако внимателно разгледаме лявата страна на предполагаемото тъждество
[tex]\frac{sin\alpha }{ 1-cos\alpha}[/tex] виждаме, че ни липсва втората степен на косинуса в знаменателя.
Да попълним този "пропуск" като разширим дробта с [tex](1+cos\alpha)[/tex].
[tex]\frac{sin\alpha }{ 1-cos\alpha}=[/tex][tex]\frac{sin\alpha (1+cos\alpha)}{ (1-cos\alpha)(1+cos\alpha)}[/tex]
Получихме
[tex]\frac{sin\alpha (1+cos\alpha)}{ 1-cos^{2}\alpha}[/tex]
Сега заместваме [tex]1 - cos^{2}\alpha[/tex] със [tex]sin^{2}\alpha[/tex] (- виж началото)
[tex]\frac{sin\alpha (1+cos\alpha)}{ sin^{2}\alpha}[/tex] и съкращаваме синуса [tex]\frac{\cancel {sin\alpha} (1+cos\alpha)}{ sin{\cancel{^{2}}\alpha}}[/tex]
Какво получихме?
[tex]\frac{1+cos\alpha}{ sin\alpha}[/tex] - дясната страна. Следователно равенството е тъждество
( в общата дефиниционна област на двата израза в лявата и дясната страна).

[Knowledge Greedy]

ами освободи се от знаменателите

Равенството [tex]\frac{sin\alpha }{ 1-cos\alpha} =\frac{1+cos\alpha}{ sin\alpha}[/tex]
предстои да бъде доказано, че е тъждество. Освобождаването от знаменателите не е еквивалентна операция и ако се направи, трябва да отклоняваме вниманието си към дефиниционното множество
(което тук явно не е цел).
=================================
Ето защо при доказването, че дадено равенство [tex]L=R[/tex] е тъждество подходите трябва да са:
- образуване на разликата [tex]L-R[/tex] и преработката и до нула;

- паралелна обработка на лявата страна [tex]L=L_{1}=L_{2}=L_{3}=...[/tex] и дясната страна [tex]R=R_{1}=R_{2}=R_{3}=...[/tex], докато се срещнат като представяния;

- образуване на частното [tex]L/R[/tex] и преработката му до единица (допълнително ни отклонява към анализ и на дефиниционното множество;

- анализът на Пап, който предлагате [tex]L=R\Leftrightarrow L_{1}=R_{1}\Leftrightarrow L_{2}=R_{2}\Leftrightarrow =...[/tex] до получаване на очевидно равенство, според мен си е синтетичен метод (- следващия) и е само за напреднали;

- Тръгваме от безусловно вярно твърдение [tex]A=B[/tex],
[tex]A=B\Rightarrow A_{1}=B_{1}\Rightarrow A_{2}=B_{2}\Rightarrow ...\Rightarrow L=R[/tex].

[mail_dinko]

Умножете ''на кръст'' и ще получите нещо елементарно

[Knowledge Greedy]

Да се докаже, че равенството [tex]\frac{sin\alpha }{ 1-cos\alpha} = \frac{1+cos\alpha}{ sin\alpha}[/tex] е тъждество.
Доказателство:
Образуваме разликата
[tex]\frac{sin\alpha }{ 1-cos\alpha} - \frac{1+cos\alpha}{ sin\alpha}[/tex]
Привеждаме към общ знаменател
[tex]\frac{(sin\alpha )sin\alpha}{(1-cos\alpha)sin\alpha } - \frac{(1+cos\alpha)(1-cos\alpha)}{(1-cos\alpha)sin\alpha }[/tex]
Извършваме изваждането като записваме с една дроб
[tex]\frac{(sin\alpha )sin\alpha - (1+cos\alpha)(1-cos\alpha)}{(1-cos\alpha)sin\alpha }[/tex]
Разкриваме скобите в числителя
[tex]\frac{(sin\alpha )^{2} - (1-cos^{2}\alpha)}{(1-cos\alpha)sin\alpha }=\frac{sin^{2}\alpha - 1+cos^{2}\alpha}{(1-cos\alpha)sin\alpha }[/tex][tex]=\frac{0}{(1-cos\alpha)sin\alpha }=0,[/tex]
Следователно даденото равенство е тъждество.

(За числителя използвахме [tex]sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha=1.[/tex])

[Гост]

дОБРА ЗАДАЧА