Докажете тъждествата:

[Гост]

1) cotg2α - 3 =cos3α/cosα*sin2α

2) (tg2α + 1/cos2α)*(cosα - sinα)=√2cos(45° - α)

3) tg(45° - α/2)=cosα/1+sinα

4) 1 + cotgα + cotg(45°- α)= cotg(45°-α)*cotgα

5) (tg4α + 1/cos4α)= (cos2α + sin2α)/ cos2α - sin2α

[kmitov]

2)

[tex]\left(\mathrm{tg} 2\alpha+\frac{1}{\cos 2\alpha}\right)(\cos \alpha-\sin \alpha)=\sqrt{2}\cos (45^0-\alpha)[/tex]

Използваме, че [tex]\mathrm{tg} 2 \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}[/tex]

[tex]\left(\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}+\frac{1}{\cos 2\alpha}\right)(\cos \alpha-\sin \alpha)=\sqrt{2}\cos (45^0-\alpha)[/tex]

Използваме, че [tex]\sin 2\alpha = 2\sin \alpha\cos \alpha[/tex] и [tex]1=\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha[/tex]

[tex]\left(\frac{2\sin \alpha\cos \alpha}{\cos 2\alpha}+\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos 2\alpha}\right)(\cos \alpha-\sin \alpha)=\sqrt{2}\cos (45^0-\alpha)[/tex]

Събираме двете дроби с еднакви знаменатели и използваме, че [tex]\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha[/tex]
[tex]\left(\frac{\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha\cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}\right)(\cos \alpha-\sin \alpha)=\sqrt{2}\cos (45^0-\alpha)[/tex]

По формулата за сбор по разлика имаме [tex]\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)[/tex]

[tex]\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)}(\cos \alpha-\sin \alpha)=\sqrt{2}\cos (45^0-\alpha)[/tex]

Тук се съкращават общите множители и се получава

[tex]\sin \alpha + \cos \alpha=\sqrt{2}\cos (45^0-\alpha),[/tex]

което го има в справочниците като формула. Иначе се продължава с дясната страна така:

[tex]\sin \alpha + \cos \alpha=\sqrt{2}(\cos 45^0 \cos\alpha+\sin 45^0\sin \alpha)[/tex]

[tex]\sin \alpha + \cos \alpha=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha+\frac{sqrt{2}}{2}\sin \alpha)[/tex]


[tex]\sin \alpha + \cos \alpha=\frac{\sqrt{2}^2}{2} \cos\alpha+\frac{sqrt{2}^2}{2}\sin \alpha[/tex]


[tex]\sin \alpha + \cos \alpha=\frac{2}{2} \cos\alpha+\frac{2}{2}\sin \alpha[/tex]

Съкращаваме двойките.
[tex]\sin \alpha + \cos \alpha= \cos\alpha+\sin \alpha[/tex]


Разменяме събираемите в дясно (разместителен закон при събирането)

[tex]\sin \alpha + \cos \alpha= \sin \alpha + \cos\alpha[/tex]

Е получи се тъждество. Това е. Другите ги карай по същия начин или чакай някой да ти ги напише.