Пресмятане на тригонометрични изрази

[limonka231]

Привет! Тъй като този урок в училище ни беше предаден едно към едно, се опитвам сама вкъщи да си разясня нещата и да намеря логиката. В учебника има няколко решени задачи, но от тези след урока има някои, които не ми се получава отговора:

1. sin(180° - α)/tgα . cotg(90° - α)/tg(90° + α) . cotg(180° - α), aко cotgα = 2

и

2. 4cosα + 5sinα / 3sinα - 2cosα, aко tgα = 3

По някаква причина отговора, който получавам за първата задача не съвпада с отговора в учебника.

Мерси за помощта.

[Knowledge Greedy]

Ако [tex]cotg\alpha = 2[/tex] да се пресметне
[tex]A=\frac{sin(180^\circ - \alpha )}{tg \alpha }.\frac{cotg(90^\circ - \alpha)}{ tg(90^\circ +\alpha ) } .cotg(180^\circ -\alpha )[/tex]
Решение:
Знаем, че
[tex]sin(180^\circ - \alpha ) = sin \alpha[/tex]
[tex]cos(180^\circ - \alpha ) = -cos \alpha[/tex]
Следователно [tex]cotg(180^\circ -\alpha )=-cotg \alpha[/tex]
Знаем, че
[tex]sin(90^\circ - \alpha ) = cos \alpha[/tex]
[tex]cos(90^\circ - \alpha ) = sin \alpha[/tex]
Следователно [tex]cotg(90^\circ -\alpha )=tg \alpha[/tex]
Също така знаем, че [tex]tg(90^\circ +\alpha )=-cotg \alpha[/tex]
Заместваме в израза [tex]A,[/tex]чиято стойност се търси, и съкращаваме:
[tex]A=\frac{sin \alpha }{\cancel {tg \alpha} }.\frac{\cancel {tg \alpha}}{ \cancel {-cotg\alpha} } .(\cancel {-cotg \alpha} )[/tex]
Получихме [tex]A=sin \alpha[/tex]. Остава да използваме условието [tex]cotg\alpha = 2[/tex][tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]sin\alpha =2cos \alpha[/tex][tex]\Leftrightarrow cos\alpha =\frac{1}{ 2} sin\alpha[/tex]. Като заместим в основното тъждество [tex]sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1[/tex] намираме [tex]sin^{2}\alpha +\frac{1}{4 } sin^{2}\alpha =1[/tex] и оттук [tex]sin^{2}\alpha =\frac{4}{5 }[/tex] и [tex]A=\pm \frac{2}{\sqrt{5} }[/tex]

[Knowledge Greedy]

Във втората задача от условието [tex]tg\alpha =3[/tex] имаме [tex]sin\alpha =3 cos \alpha[/tex]и като заместим в дадения израз [tex]\frac{4cos\alpha +5sin\alpha }{3sin\alpha -2cos\alpha }[/tex] и като съкратим, получаваме [tex]\frac{19}{ 7} .[/tex]

[limonka231]

Благодаря, Knowledge Greedy! Това, което не мога да разбера е как получаваш [tex]cos\alpha = \frac{1}{2 }[/tex]?
Аз го смятам така:
[tex]cotg\alpha = \frac{cos\alpha }{ sin\alpha } => sin\alpha = \frac{cos\alpha }{2 }[/tex]

Иначе за тази задача в отговорите в учебника е дадено [tex]\frac{1}{\sqrt{5} }[/tex]

[Knowledge Greedy]

limonka231 , имаш право! Двойката съм прехвърлил не където трябва.
[tex]sin\alpha = \frac{cos\alpha }{2 }[/tex]. И уравнението става [tex]4 sin^{2}\alpha + sin^{2}\alpha =1[/tex] и оттук [tex]sin^{2}\alpha =\frac{1}{5 }[/tex]и [tex]A=\pm \frac{1}{\sqrt{5} }[/tex]