Задача с упоредник

[arabella]

успоредник ABCD
диагоналите AC и BD се пресичат в точка О
ъгъл AOD=45[tex]^\circ[/tex]
AB=6, AD=4
a) AC, BD=?
b) намерете лицето на успоредника

[Knowledge Greedy]

Да въведем означения [tex]AC=2x[/tex]и [tex]BD=2y[/tex].
Прилагаме косинусова теорема за триъгълник [tex]\Delta AOD:[/tex]
[tex]AD^{2}=x^{2}+y^{2}-2xycos45^\circ[/tex]
Прилагаме косинусова теорема за триъгълник [tex]\Delta ABO:[/tex]
[tex]AB^{2}=x^{2}+y^{2}-2xycos135^\circ[/tex]
Получи се система
[tex]\begin{array}{|l} x^{2}+y^{2}-xy\sqrt{2} =4^{2} \\
x^{2}+y^{2}+xy \sqrt{2} =6^{2} \end{array}[/tex]
Изваждаме почленно и получаваме [tex]2xy \sqrt{2} =6^{2} - 4^{2}[/tex].
Решихме първо подусловие б), защото [tex]S_{ABCD}=\frac{1}{2 } AC.BD.sin\angle AOB[/tex]
Така [tex]S_{ABCD}=\frac{1}{2 } 2x.2y.\frac{\sqrt{2}}{ 2}=\frac{1}{2 }( 36-16)=10[/tex]
a) В системата заместваме с полученото [tex]xy=5\sqrt{2}[/tex] и получаваме
[tex]\begin{array}{|l} x^{2}+y^{2}-xy\sqrt{2} =16 \\
xy=5 \sqrt{2}\end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2}+y^{2}=26 \\
xy=5 \sqrt{2} \end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x=\sqrt{13+\sqrt{119} } \\
y=\sqrt{13-\sqrt{119} }
\end{array}[/tex]
Отговор: [tex]AC=2\sqrt{13+\sqrt{119} }[/tex] и [tex]BD=2\sqrt{13-\sqrt{119} }[/tex].

[arabella]

Благодаря.