Докажете тъждествата:

[Гост]

Докажете, че ако α + β + γ = 90°
a) cotgα + cotgβ + cotgγ = cotgα*cotgβ*cotgγ
b) tgα*tgβ + tgβ*tgγ + tgγ*tgα = 1

[Knowledge Greedy]

Доказателство на б):
Кои формули ще ползваме? Първо [tex]tg\gamma . cotg \gamma=1[/tex].
Второ. Когато има ъгли допълващи се до [tex]90^\circ[/tex] неизбежно заедно с [tex]tg(90^\circ -x)[/tex] се намесва и [tex]cotgx[/tex], защото са равни.
Трето. Знаем, че [tex]tg(\alpha +\beta )=\frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha .tg\beta }[/tex]
Оттук изразяваме сбора на тангенсите [tex]tg(\alpha +\beta )(1 -tg\alpha .tg\beta ) =tg\alpha +tg\beta[/tex]
Разглеждаме лявата страна на равенството
[tex]L=tg\alpha .tg\beta +tg\beta .tg\gamma +tg\gamma . tg\alpha[/tex]
От второто и третото събираемо изнасяме общ множител [tex]tg \gamma[/tex]
[tex]L=tg\alpha .tg\beta +tg\gamma( tg\beta + tg\alpha)[/tex]
Заменяме изразения по-горе сбор на тангенсите на [tex]\alpha[/tex] и на [tex]\beta[/tex]в скобите
[tex]L=tg\alpha .tg\beta +tg\gamma .\left ( tg(\alpha +\beta )(1 -tg\alpha .tg\beta ) \right )[/tex]
Заменяме
[tex]L=tg\alpha .tg\beta +tg\gamma .\left ( tg(90^\circ -\gamma ) )(1 -tg\alpha .tg\beta ) \right )[/tex]
и още
[tex]L=tg\alpha .tg\beta +tg\gamma . cotg \gamma \left (1 -tg\alpha .tg\beta \right )[/tex]
Използваме първата формула
[tex]L=tg\alpha .tg\beta + \left (1 -tg\alpha .tg\beta \right )[/tex]
Разкриваме скобите
[tex]L=tg\alpha .tg\beta + 1 -tg\alpha .tg\beta[/tex]
и унищожаваме подобните събираеми с противоположен знак
[tex]L=\cancel { tg\alpha .tg\beta} + 1 -\cancel { tg\alpha .tg\beta}[/tex]
Получи се дясната страна.

a) се доказва директно от б)