Синусова и косинусова теорема

[Гост]

1.Трапец с височина 1 и остър ъгъл α е вписан в окръжност. Да се намери радиусът и ако ъгълът между диагоналите срещу бедрото е λ.
2.В окръжност с радиус R е вписан ▲ABC. Точката D[tex]\in[/tex]BC, а хордите AD и BC се пресичат в т.M. Да се намери BC ,ако [tex]\angle[/tex] BMD=120[tex]^\circ[/tex], AB=R, BM:MC=2:3.
Отг.:[tex]\frac{5}{ \sqrt{7} }[/tex]R

[Knowledge Greedy]

1. Щом височината е [tex]1[/tex], острият ъгъл е [tex]\alpha[/tex], то бедрото е [tex]\frac{1}{sin\alpha }[/tex] - от образувалия се правоъгълен триъгълник. Тъйкато даденият ъгъл [tex]\lambda[/tex] срещу бедрото се мери с дъгата стягаща бедрото (трапецът е равнобедрен), то по синусова теорема [tex]\frac{1}{sin\alpha }=2Rsin\frac{\lambda}{2 }[/tex] и оттук намираме [tex]R[/tex].
2. Обърни внимание на факта, че [tex]\Delta ABO[/tex] е равностранен (О е центърът на описаната окръжност).
Значи ъгълът при върха [tex]\angle C= 30^\circ[/tex].
А щом ъгъл [tex]\angle BMD=120^\circ[/tex], съседният му е [tex]60^\circ[/tex] и може да се направи извод за дъгата и хордата [tex]CD[/tex]. А именно, лесно се установява, че [tex]\Delta CDO[/tex] е също равностранен и в такъв случай фигурата [tex]ABDC[/tex] е равнобедрен трапец. Диагоналите [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex]на равнобедрения трапец са равни и се разделят взаимно на съответно равни части от общата си точка [tex]M[/tex] . Ето защо [tex]CM:MD=3:2[/tex]. Прилагаме косинусова теорема за [tex]\Delta CDM[/tex] , в който още [tex]\angle CMD= 60^\circ[/tex] и [tex]CD=R.[/tex] .
Отговорът се получава точно като е даден, а именно [tex]BC=\frac{5\sqrt{7}}{7}R[/tex] .

[Гост]

даден е равнобедрен трапец, описан около окръжност
а)ако бедрото на трапеца е 5 и радиусът на вписаната окръжност е 2, намерете основите му
Б)намерете отношението на радиусите на описаната и вписаната окръжност, ако острият ъгъл на трапеца е [tex]\alpha[/tex]

[Parasyte]

За подточка а):

[Knowledge Greedy]

След като си намерил [tex]AB=8[/tex], за [tex]BH[/tex] следва, че е [tex]BH=5[/tex]
И от правоъгълния [tex]\Delta BDH[/tex] намираме [tex]BD[/tex].
След това намираме [tex]sin \angle BAD[/tex] - от правоъгълния [tex]\Delta BAD[/tex],
а след това - по синусова теорема
[tex]R=\frac{BD}{2sin \angle BAD}[/tex].