Косинусова теорема

[Гост]

Дължината на диагонала на правоъгълник е 32 см, а ъгълът между диагоналите е 135°. Намерете страните на правоъгълника.

[mail_dinko]

Чертаеш правоъгълник ABCD. AC е диагонал с дължина 32.
После построяваш и другия диагонал BD. В правоъгълника (частен случай на успоредник) диагоналите взаимно се разполовяват. В правоъгълника диагоналите са равни по дължина.
От тук следва, че AO=BO=CO=DO=16
Означаваме мястото, където диагоналите се пресичат с т.О
Ъгълът между диагоналите е 135 градуса
Разглеждаме триъгълник ABO
[tex]\angle AOB=135 ^\circ[/tex]
[tex]AB^2 = AO^2 +BO^2 - 2.AO.BOcos \angle 135^\circ[/tex]
[tex]AB=\sqrt{ AO^2 +BO^2 - 2.AO.BOcos \angle 135^\circ}[/tex]
[tex]AB= \sqrt{256+256+256} = \sqrt{3.16^2} =16\sqrt{3}[/tex]

Втората страна може да намерим с косинусова теорема за съседния на този ъгъл (45 градуса)
Но аз предлагам Питагорова теорема. Разглеждаме триъгълник ABC, прав ъгъл В
[tex]BC =\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{32^2-768} =16[/tex]

[pal702004]

Само дето няма как едната страна да е равна на половината диагонал.
Защото косинусът не е [tex]\frac 1 2[/tex]

[math10.com]

[tex]S=\frac{d^2sin 135^\circ}{2}=256\sqrt{2}[/tex]

Нека [tex]a\ge b[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}a.b=S=256\sqrt{2}\\a^2+b^2=d^2=1024 \end{tabular} \Right \begin{tabular}{|l}a+b=16\sqrt{4+2\sqrt{2}}\\a-b=16\sqrt{4-2\sqrt{2}} \end{tabular} \Right \begin{tabular}{|l}a=8(\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{4-2\sqrt{2}})\\b=8(\sqrt{4+2\sqrt{2}}-\sqrt{4-2\sqrt{2}}) \end{tabular}[/tex]

[pal702004]

Може да се опрости...не мисля че има нужна от особени хитрости, по косинусовата дължините на страните са си

[tex]16\sqrt{2\pm\sqrt 2}[/tex]

[mail_dinko]

Приемам грешката и се извинявам, защото работих със 120 градуса и взех -1/2 вместо минус корен от върху 2