Равнобедрен триъгълник

[arabella]

В равнобедрен триъгълник един от ъглите е 120[tex]^\circ[/tex], r=1см, R=?

[math10.com]

[tex]AC=BC=2Rsin 30^\circ =R[/tex]
[tex]AB=2Rsin 120^\circ =2R\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{AC.BC.sin 120^\circ}{2}=p.r[/tex]
[tex]\Right \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}=\frac{R(2+\sqrt{3})}{2} \Right R=\frac{4+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}+6}{3}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Една синусова теорема (без чертеж) веднага ни казва, че основата е [tex]R\sqrt{3}[/tex].
Ако спуснем перпендикуляр от центъра на вписаната окръжност към основата на триъгълника (Това е радиус на тази окръжност.) и разгледаме получения триъгълник с върхове петата на този перпендикуляр, центъра на вписаната окръжност и връх на основата на дадения триъгълник, ще получим правоъгълен триъгълник с катет [tex]1[/tex] и остър ъгъл [tex]15^{\circ}[/tex]. Вторият катет на този триъгълник е половината от основата, т.е. [tex]\frac{R\sqrt{3} }{ 2}[/tex]. Остава да съобразим, как най-ефективно да пресметнем [tex]cotg15^\circ[/tex] в този триъгълник, защото точно той ще ни даде отговора.

[math10.com]

zad2.png (30.46 KiB) Прегледано 201 пъти

А най-лесно е това:
[tex]AC=R \Right CH=\frac{R}{2} \Right CI=\frac{R}{2}-1=\frac{ID}{sin 60^\circ }[/tex]
[tex]\Right R=2(\frac{1}{sin 60^\circ }+1)=\frac{4\sqrt{3}+6}{3}[/tex]