Тригонометрични функции, косинус

[touristoferta]

В триъгълник ABC e вписана окръжност, която се допира до ВC в т. D, ако AD = DB, BC = 8 cm, cosABC=2/3, то колко е AB ?

[Гост]

[tex]\frac{32}{9}[/tex]?

[Knowledge Greedy]

Разглеждаме [tex]\Delta ABD[/tex] - равнобедрен.
Нека точката [tex]M[/tex] е средата на [tex]AB[/tex] , значи тя е и пета на височината.Означаваме с [tex]T[/tex] допирната точка на вписаната окръжност с [tex]AB[/tex] .
За допирателните от [tex]B[/tex] имаме означение [tex]BT=BD=3n[/tex]
Тогава [tex]BM=BDcos\beta=3n.\frac{2}{3 }=2n[/tex] - от правоъгълния [tex]\Delta BMD[/tex] и условието за косинуса.

Метрични...вписана окръжност.PNG (5.51 KiB) Прегледано 183 пъти

Щом [tex]\Delta ABD[/tex] - равнобедрен, то [tex]AB=4n[/tex].
Тогава [tex]AT=4n-3n[/tex].
Прилагаме косинусова теорема за дадения триъгълник [tex]\Delta ABC[/tex]
[tex](x+n)^2=(x+3n)^2+(4n)^2-2.(x+3n).4n.cos\beta[/tex],
къде то с [tex]x[/tex] сме означили допирателните от върха [tex]C[/tex].
Уравнението става линейно, с единствен корен [tex]x=6n[/tex].
Тогава от първото условие [tex]BC=9 n =8 \Rightarrow AB= 4n = \frac{32}{9}[/tex].