В четириъгълник ABCD са дадени: AB=33 см, BC=63 см, CD=16

[Гост]

В четириъгълник ABCD са дадени: AB=33 см, BC=63 см, CD=16 см, DA=56 см и ъгъл A = ъгъл C
Намерете ъглите и диагоналите на четириъгълника.

[Knowledge Greedy]

В четириъгълник ABCD са дадени: AB=33 см, BC=63 см, CD=16 см, DA=56 см и ъгъл A = ъгъл C

Прилагаме два пъти косинусова теорема - за триъгълниците с общ диагонал [tex]BD[/tex]
[tex]AB^2+AD^2-2AB.ADcos\angle A =BD^2= CB^2+CD^2-2CB.CDcos\angle C[/tex]
Заместено с данните
[tex]33^2+56^2-66.56cos\angle A = 63^2+16^2-32.63cos\angle A[/tex]
И намираме
[tex]cos\angle A=0[/tex], следователно [tex]\angle A =\angle C=90^\circ[/tex] - при това се оказва, че [tex]ABCD[/tex]е вписан в окръжност.
Веднага [tex]BD =65[/tex] см.
За другия диагонал е удобно да се възползваме от теоремата на Птоломей.
[tex]AC.BD=AB.CD+BC.AD[/tex]
[tex]65AC=33.16+63.56[/tex]
[tex]\Leftrightarrow AC=62,4[/tex] см.
Отново по косинусова теорема, само че за [tex]\Delta ABC[/tex]
[tex]cos\angle ABC=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{ 2AB.BC}=\frac{33^2+63^2-62,4^2}{ 2.33.63}[/tex].
[tex]cos\angle ABC=\frac{7}{ 25}[/tex]
и естествено
[tex]cos\angle ADC=- \frac{7}{ 25}[/tex].