Триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник ABC, ъгъл BAC =120 градуса. Радиуса на вписаната и описаната окръжност са съответно r=V3 (корен от 3), R =14V3/3 . Да се намерят страните на триъгълника.

[math10.com]

Странно защо никой не се пробва на тази.

Първо прилагаме Синусова теорема:
[tex]\frac{BC}{sin \alpha }=2R \Right BC=2.\frac{14\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=14[/tex]
После Косинусова теорема:
[tex]BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cos \alpha \Right 196=b^2+c^2+bc \Right bc=(b+c)^2-196=(b+c+14)(b+c-14)[/tex]
Сега идва време за формулите за лице:
[tex]S=\frac{bc.sin \alpha}{2}; S=p.r \Right \frac{bc\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}(b+c+14)}{2} ;\Right bc=2(b+c+14)[/tex]
От тук лесно се вижда ,че :
[tex](b+c-14)=2 \Right b+c=16 \Right bc=60[/tex]
Остана само да решим система уравнения:
[tex]\begin{tabular}{|l}b+c=16\\bc=60 \end{tabular} \Right b_1=6 ;c_1=10 ;b_2=10;c_2=6[/tex]