Намерете височината на трапец с диагонали 3см, 4см и лице

[bubinho]

Намерете височината на трапец с диагонали 3 см и 4см и лице 6 см.

[Knowledge Greedy]

Нека [tex]AC=4[/tex] .
Построяваме през връх [tex]C[/tex] успоредна [tex]CM[/tex] на диагонала [tex]BD[/tex], като [tex]M\in AB[/tex].
Получава се, че [tex]CM=BD=3[/tex] - защото [tex]BMCD[/tex] е успоредник. Също така да отбележим, че по същата причина [tex]AM=a+b[/tex] - сбор на основите на трапеца.
Не е трудно да се докаже, че лицето на триъгълника [tex]\Delta AMC[/tex] е равно на лицето на трапеца[tex]ABCD[/tex] - и едното и другото е [tex]S=\frac{AM.h}{2 }[/tex] . На чертежа общата височина [tex]h[/tex] (търсеното) е отбелязана само със сив пунктир.

Trapets.png (2.69 KiB) Прегледано 4418 пъти

Да разгледаме лицето на триъгълника [tex]\Delta AMC[/tex]. Нека [tex]AC[/tex] е основа (гледаме чертеж 2). Височината към нея е не по-голяма от страната [tex]CM[/tex]. Следователно лицето на [tex]\Delta AMC[/tex] е не по-голямо от [tex]\frac{3.4}{2}= 6[/tex].
Но по условие това лице е точно [tex]6[/tex]. Максималното лице се достига точно тогава, когато височината [tex]MH[/tex] към [tex]AC[/tex] съвпада със страната [tex]CM[/tex], а това означава диагоналите на трапеца да са взаимно перпендикулярни т.е. [tex]\Delta AMC[/tex] да е правоъгълен, с прав ъгъл [tex]\angle ACM[/tex].
Прилагаме теоремата на Питагор за триъгълника [tex]\Delta AMC[/tex] и получаваме за неговата основа [tex]AM=5[/tex]
(- сбор на основите [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] на трапеца/.

Trapezoid.png (4.59 KiB) Прегледано 4418 пъти

Тогава по формулата [tex]S=\frac{1}{2} (a+b)h[/tex] намираме височината.

Отговор. [tex]h=\frac{12}{5}= 2,4[/tex]

[bubinho]

Благодаря Ти !!!!!