Задачи за подготовка

[Гост]

Здравейте, скоро имам контролно по математика, реших повечето задачи затруднявам се малко със следните две, надявам се че някой от вас ще помогне

1) Диагоналите на четириъгълника ABCD се пресичат в точка P. Ако Sapd = Sbpc. Докажете че AB || CD
Упътване : Докажете че Sabc = Sabd

2) Точката М е средата на AB, G е медицентърът на ABC с лице S. Докажете че :
Samc = Sbmc = 1/2 S
Sabg = 1/3 S

[Knowledge Greedy]

1. Ще коментирам упътването.
Лицата на двата триъгълника [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\Delta ABD[/tex] се изразяват с обща основа и равни височини.
Ако [tex]DE[/tex] и [tex]CF[/tex] са тези височини, то [tex]EFCD[/tex] се оказва правоъгълник и тогава [tex]CD || EF.[/tex]
Но [tex]EF[/tex] е част от [tex]AB[/tex], значи [tex]CD || AB.[/tex]

И накрая (по-скоро в началото ) - за да съумеем да се възползваме от упътването, трябва да получим равенство на лицата на [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\Delta ABD[/tex], което правим като към двата дадени триъгълника с равни лица долепим [tex]\Delta ABP[/tex].

По 2.
Направи си чертеж само с триъгълника [tex]\Delta ABC[/tex] и медианата [tex]CM[/tex]. Спусни перпендикуляри от [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] към [tex]CM[/tex] - те са височини към общата основа [tex]CM[/tex] на триъгълниците [tex]\Delta AMC[/tex] и [tex]\Delta BMC[/tex]. Така тези триъгълници имат равни лица, защото са с обща основа [tex]CM[/tex] и равни височини. А защо са с равни височини? - разгледай преди това малките правоъгълни триъгълници с тези височини, на които втори страни са половинките [tex]AM[/tex] и [tex]BM[/tex] на [tex]AB[/tex] (еднакви са по втори признак).