Задачи от контролно

[Гост]

1.В окръжност с радиус [tex]\frac{21\sqrt{5}}{10}[/tex] е вписан четириъгълник ABCD с лице [tex]18\sqrt{5}[/tex]. Ако AB=4 и [tex]tgABC=-\frac{3\sqrt{5}}{2}[/tex], да се намерят страните и диагоналите на ABCD

2.От върха B на тъпия ъгъл на ромб ABCD са построени височините BM и BN. Ако радиусът на окръжността, вписана в четириъгълника BMDN е 1см и [tex]tgABD=2[/tex], то страната на ромба е?

Днес правих контролно и не можах да се справя с тези 2 задачи. Ако може някой да ми ги обясни?

[Гост]

Колко общо бяха задачите и за колко време?
Тия двете си ги бива

[Knowledge Greedy]

Стандартните означения включват [tex]\angle ABC =\beta[/tex] и [tex]R[/tex] - радиус на описаната окръжност. Нека още означим [tex]BC=x, CD=y, DA=z[/tex].
Ще разделим решението, за прегледност, на няколко части.

Богато на метрични зависимости.PNG (5.26 KiB) Прегледано 200 пъти

I. От [tex]tg\beta=-\frac{3\sqrt{5} }{2 }[/tex]
намираме [tex]cos^2\beta =\frac{4}{49 }[/tex] [tex](\ast)[/tex]
и следователно [tex]sin\beta =\frac{3\sqrt{5} }{7 }[/tex]
II. По синусова теорема [tex]AC=2Rsin\beta[/tex]
Открихме, че [tex]AC=9[/tex]
III. Прилагаме косинусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex]
[tex]9^2=4^2+x^2-2.4.x.cos\beta[/tex]
Поради условието за знака на тангенса, от [tex](\ast)[/tex] следва, че [tex]\angle ABC>90^\circ[/tex] и [tex]cos\beta =-\frac{2}{7 }[/tex]
уравнението за [tex]x[/tex] e
[tex]x^2+\frac{16}{7}x-65=0[/tex]
[tex]D=\left ( \frac{57}{7 } \right )^2[/tex]
[tex]BC=x=7[/tex]

IV. Определяме лицето на [tex]\Delta ACD[/tex]
Поради [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{1}{ 2} .7.4.\frac{3\sqrt{5} }{7 }=6\sqrt{5}[/tex],
то с условието за лицето на четириъгълника намираме [tex]S_{\Delta ACD}=12\sqrt{5}[/tex]

V. Определяме лицето на [tex]\Delta ACD[/tex] чрез търсените величини [tex]y[/tex] и [tex]z[/tex].
[tex]\frac{1}{2 }yzsin\angle ADC=12\sqrt{5}[/tex]
[tex]yz\frac{3\sqrt{5} }{7 } =12\sqrt{5}[/tex],
следователно [tex]yz=56[/tex]

VI. Прилагаме косинусова теорема за [tex]\Delta ACD[/tex]
[tex]y^2+z^2-2.yz.(-cos\beta)=9^2[/tex]

VII. Решаваме системата
[tex]\left|\begin{matrix}
y^2& +\frac{4}{7 }yz & +z^2& =81\\
& & yz & =56
\end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Leftrightarrow \left|\begin{matrix}
y &= 7\\
z &= 8
\end{matrix}\right.[/tex]

VIII. С теоремата на Птоломей [tex]BD.AC=AB.CD+AD.BC[/tex] намираме и диагонала [tex]BD[/tex]

VIII.1. [tex]9BD=4.8+7.7[/tex][tex]\Rightarrow BD=9[/tex]
VIII.2. [tex]9BD=4.7+7. 8[/tex][tex]\Rightarrow BD=9\frac{1}{3}[/tex]

Отговор. Четириъгълниците с дадените свойство са два, с едни и същи дължини на страните, но с различна наредба и различен втори диагонал:
[tex]AB=4, BC=7,CD=7,DA= 8,AC=9,BD=9[/tex]
[tex]AB=4, BC=7,CD=8,DA= 7,AC=9,BD=9\frac{1}{3 }[/tex]