Контролно: Синусова, Косинусова теорема; лица

[Гост]

Контролна за десети клас. Синусова теорема. Косинусова теорема. Формули за лице на триъгълник и четириъгълник. Трябва ми за утре до 9 часа. Благодаря предварително.

[Knowledge Greedy]

Упътвания за [tex]I[/tex]група.
В задача 1а) трябва да се приложи косинусова теорема (10 клас) за [tex]\Delta BCD[/tex]. Тук трябва да знаем, че [tex]\angle BCD=180-\alpha[/tex] ( 8 клас) и второ - че [tex]cos (180-\alpha)=-cos \alpha[/tex] (новото знание от 10 клас).

Равнобедрен трапец.PNG (2.87 KiB) Прегледано 733 пъти

В задача 1б) трябва също да се приложи косинусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex], само че за страната [tex]BC[/tex] срещу дадения ъгъл. Получава се квадратно уравнение [tex]c^2-\sqrt{10}c+4=0[/tex] ( 8 и 9 клас).

В задача 2а) трябва да направим акцент по условието " в успоредник " - означава че точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex]са съответно от отсечките [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex].

Успоредникът.PNG (3.86 KiB) Прегледано 733 пъти

Първоначално по косинусова теорема за [tex]\Delta MNC[/tex] намираме дължината на [tex]MN[/tex]. След това прилагаме синусова теорема за същия триъгълник и откриваме радиуса [tex]R[/tex] на описаната около него окръжност. Ясно е (поради [tex]\angle AMC =90^\circ =\angle ANC[/tex]), че диаметър на тази окръжност [tex]AC=2R[/tex].
След това обръщаме внимание на подобните триъгълници [tex]\Delta BMC[/tex] и [tex]\Delta DNC[/tex]. Означаваме съответните страни пропорционално на дадените - виж чертеж 2. Предпоследно - по косинусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex] - тук имаме [tex]AB=8k, BC=6k, \angle ABC=60^\circ , AC=2R[/tex] и намираме коефициента на пропорционалност [tex]k[/tex]. Накрая прилагаме формулата за лице [tex]S_{ABCD}=AB.BC.sin\angle ABC[/tex] намираме лицето [tex]S_{ABCD}=24\sqrt{3}k^2[/tex] .
В задача 2б) намираме бедрата на трапеца [tex]AD=BC=5[/tex] по условието за описан около окръжност четириъгълник [tex]AB+CD=AD+BC[/tex] . След това спускаме две височини на трапеца - през точките [tex]C[/tex] и [tex]D[/tex], като при това разделяме трапеца правоъгълник и два еднакви правоъгълни триъгълника. Височината [tex]h[/tex] на трапеца намираме от единия от тях по питагорова теорема. С нейна помощ веднага определяме [tex]S_{ABCD}=\frac{AB+DC}{2} h.[/tex]