Метрични зависимости в триъгълник

[lorenceto5]

10 клас-Профилирана подготовка
1.Дадено: а=16, r=6, R=17 Намерете другите две страни на триъгълника?

2.Периметърът на триъгълник е равен на 125.Намерете страните a и b, ako c=60 i lc=10 ?

[MENKA]

За 2 зад

[MENKA]

За 1 зад.
1Намерете sinα- от a/sinα=2R,после намирате cosα
2.Изразявате лицето на триъгълника чрез формулите със радиусите на вписаната и описаната к
3.Косинусова т за cosα
.Системата уравнения я решавате.

[monika_at]

За 1 зад.
1Намерете sinα- от a/sinα=2R,после намирате cosα
2.Изразявате лицето на триъгълника чрез формулите със радиусите на вписаната и описаната к
3.Косинусова т за cosα
.Системата уравнения я решавате.

Системата е мега хард! Менке, ако я решиш, те черпя

Ето едно сравнително по-леко решение. При стандартните означения за триъгълник, нека построим радиуса на вписаната окръжност към страната АВ=с. Нека той е [tex]JP; J-[/tex]център на вписаната окр.
[tex]sin\alpha =\frac{8}{17 } =>cos\alpha =\frac{15}{ 17} =>cotg{\frac{\alpha }{2 } }=\sqrt{\frac{1+cos\alpha }{1-cos\alpha } }=4[/tex]

[tex]\Delta AJP=>cotg{\frac{\alpha }{2 } }=\frac{AP}{JP } =>4=\frac{p-a}{r } =>p=40=>b+c=64[/tex](*)
[tex]S=pr=240; S=\frac{1}{ 2} bcsin\alpha =>bc=17.60=34.30[/tex](**)
От (*) и (**)=>[tex]b=30; c=34 (b=34; c=30)[/tex]

[lorenceto5]

Благодаря ви много

[Knowledge Greedy]

За 1 зад.
1Намерете sinα- от a/sinα=2R,после намирате cosα...

Системата е мега хард! Менке, ...

Системата не е много страшна - ние ще я решим, но децата ще я изгледат като движещ се автомобил и даже няма да го снимат. А ако те не могат, значи и ние не сме си свършили работата .
Аз получих с моя си система, с точност до наредба на страните [tex]\left |\begin{matrix}
a=52\\
b=13
\end{matrix}\right[/tex].
Като проверих с формулата [tex]l^2_c=ab-mn[/tex] излиза, че отговорът ми е правдоподобен )
[tex](m=48, n=12)[/tex].

[monika_at]

Объркал си поредността на задачите. Твоето решение, е за задача 2

[Гост]

За 2 зад

Само, че е 10 на квадрат

[S.B.]

10 клас-Профилирана подготовка

2.Периметърът на триъгълник е равен на 125.Намерете страните a и b, ako c=60 i lc=10 ?

Без заглавие - 2020-10-03T170255.615.png (216.63 KiB) Прегледано 432 пъти

От свойството на ъглополовящата[tex]\rightarrow \frac{AL}{BL} = \frac{AC}{BC} \Leftrightarrow\frac{x}{60-x} = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \frac{60b}{a+b} , (60 - x )= \frac{60a}{a+b}[/tex]
$a+b = 125-60 \Rightarrow a + b = 65$
$AL = \frac{60b}{65} \Leftrightarrow AL = \frac{12}{13}b$ , а $BL = \frac{60a}{65} \Leftrightarrow BL = \frac{12}{13}a$
$CL^{2} = AC.BC - AL.BL \Leftrightarrow 10^{2} = a.b - \frac{12}{13}a.\frac{12}{13}b \Leftrightarrow 10^{2} = ab(1 - (\frac{12}{13})^{2}) \Rightarrow ab = 676$
Образувам системата:

$\begin{array}{|l}a + b = 65 \\ ab = 676 \end{array} \Leftrightarrow b^{2} - 65b + 676 = 0 ,D = 1521= 39^{2}$

$b_{1 ,2} = \frac{65\pm39}{2} \Rightarrow b_{1 } = 52,b_{2 } = 13$ , съответно $a_{1 } = 13,a_{2 } = 52$
Отговор: $a = 13,b=52$ или $a=52,b = 13$

[S.B.]

10 клас-Профилирана подготовка
1.Дадено: а=16, r=6, R=17 Намерете другите две страни на триъгълника?

Без заглавие - 2020-10-03T203409.492.png (219.38 KiB) Прегледано 415 пъти

Още един поглед върху задачата

Нека $\angle BAC = \alpha$

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Синусова теорема:$\frac{a}{sin\alpha} = 2R \Leftrightarrow \frac{16}{sin\alpha} = 34 \Rightarrow sin\alpha = \frac{8}{17} ,cos\alpha = \sqrt{1 - sin^{2}\alpha} = \frac{15}{17}$
От $\triangle AMO \rightarrow \frac{AM}{OM} = cotg\frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow z = 6.cotg\frac{\alpha}{2}$
$cotg\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + cos\alpha}{1 - cos\alpha}}\Leftrightarrow$ $cotg\displaystyle\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{15}{17}}{1 - \displaystyle\frac{15}{17}}} = 4 \Rightarrow z = 4.6 = 24$
$AB = 23 + x , AC = 24 + y , BC = x + y = 16$
Прилагам Косинусова теорема :$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2.AB.AC.cos\alpha$ и образувам системата:

$\begin{array}{|l} x + y = 16 \\ 16^{2} = (24 + x)^{2} + (24 + y)^{2} - 2.(24 + x)(24 + y) .\displaystyle\frac{15}{17} \end{array}$
Решавам чрез заместване и след преработка получавам уравнението:
$y^{2} - 16y + 60 = 0 , D = 16 , y_{1,2 } = \frac{16\pm4}{2} \Rightarrow y_{1 } = 10,y_{2 } = 6$
Получаваме $x_{1 } = 6 , y_{1 } = 10$ и $x_{2 } = 10 , y_{2 } = 6$
Отговор : $AB = 30,AC = 34$ или $AB = 34 ,AC = 30$