Трябва ми спешно решение на задачите

[lorenceto5]

10433758_777965402237244_9060841762033229469_n.jpg (63.99 KiB) Прегледано 285 пъти

10407593_777965255570592_3296903485220449210_n.jpg (79.53 KiB) Прегледано 285 пъти

Здравейте,спешно ми трябва решение на тези задачи!
Благодаря предварително !

[monika_at]

14 зад. Направи си и чертеж със стандартни означения за страни и ъгли. Ще ползваме, че радиусите на описаните окръжности около [tex]\Delta ABC; \Delta AHC; \Delta BHC; \Delta AHB[/tex] са равни. От синусовите теореми, приложени за тези триъгълници имаме:

[tex]AH=2R|cos\alpha|; BH=2R|cos\beta|; CH=2R|cos\gamma|; a=2Rsin\alpha ; b=2Rsin\beta; c=2Rsin\gamma[/tex]

Косинусите са в модул, защото ако триъгълникът е тъпоъгълен, един от тях е отрицателен.

[tex]AH^2+BH^2+CH^2=4R^2(cos^2\alpha +cos^2\beta +cos^2\gamma )=[/tex]

[tex]4R^2(3-sin^2\alpha +sin^2\beta +sin^2\gamma)=12R^2-4R^2(sin^2\alpha +sin^2\beta +sin^2\gamma)=4R^2-a^2-b^2-c^2[/tex]

[monika_at]

Във втората скоба съм допуснала техническа грешка. Знаците и пред трите синуса са минуси.

[monika_at]

abc.png (29.34 KiB) Прегледано 223 пъти

13 зад) В тази задача ще ползваме следните неща:
1)[tex]cotg{\frac{\alpha }{ 2} }+cotg{\frac{\beta }{ 2} }+cotg{\frac{\gamma }{ 2} }=cotg{\frac{\alpha }{ 2} }cotg{\frac{\beta }{ 2} }cotg{\frac{\gamma }{ 2} }[/tex] (Доказва се лесно. При нужда ще го направя)

2) [tex]S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)=>(p-a)(p-b)(p-c)=\frac{S^2}{p } ; S=pr; S=\frac{abc}{ 4R}[/tex]

[tex]\Delta API=>AI=\frac{r}{sin{\frac{\alpha }{ 2} } }; cotg{\frac{\alpha }{ 2} }=\frac{p-a}{ r}[/tex]- аналогично и за останалите триъгълници.

[tex]aAI^2=2Rsin\alpha .\frac{r^2}{ sin^2{\frac{\alpha }{2 } }}=4R{sin{\frac{\alpha }{ 2} } }{cos{\frac{\alpha }{ 2} } }\frac{r^2}{ sin^2{\frac{\alpha }{2 } }}=4Rr^2cotg{\frac{\alpha }{ 2}[/tex]. Аналогично и за останалите събираеми. Тогава получаваме:

[tex]aAI^2+bBI^2+cCI^2=4Rr^2(cotg{\frac{\alpha }{ 2} }+cotg{\frac{\beta }{ 2} }+cotg{\frac{\gamma }{ 2} })=4Rr^2cotg{\frac{\alpha }{ 2} }cotg{\frac{\beta }{ 2} }cotg{\frac{\gamma }{ 2} }[/tex]=

=[tex]\frac{4R(p-a)(p-b)(p-c)}{r } =\frac{4RS^2}{rp } =\frac{4RS^2}{ S}=4RS=abc[/tex]