Функция с модул и променлива

[Гост]

Имам следната фунцкия:
[tex]f(x)=x|x-2a|+2-3a=0[/tex]
Задачата е да се намери за коя стойност на а има точно два корена.
Стигнах до там, че ако :
а=0
[tex]x^2+2=0[/tex]
Няма решение.
Как да продължа?

[Knowledge Greedy]

Не е вярно, че няма решение при [tex]a=0.[/tex]
Уравнението е [tex]x|x|+2=0[/tex]. То няма положителен корен.

Но ако [tex]x<0[/tex], тогава уравнението е [tex]-x^2+2=0[/tex] с корени [tex]x_{1,2}=\pm \sqrt{2}[/tex], от които само
[tex]x=-\sqrt{2}[/tex]

--------------------
Ако обаче [tex]a\ne 0...[/tex]
Задачата е дадена с надеждата ученикът да си помогне с някакви графики и да прецени количеството пресечни точки и по-точно - кога са две.

[math10.com]

Класически метод за решение на модулно уравнение.

1 случай:[tex]x \ge 2a ;\Right |x-2a|=x-2a[/tex]

[tex]\Right x^2-2ax+3-2a=0[/tex]
[tex]D=4a^2+8a-12=4(a-1)(a+3)>0 ;\Right a\in(-\infty;-3 )\cup (1;\infty )[/tex] (Условие да има реални корени)
[tex]x_1+x_2=2a; x_1,x_2>2a ;\Right x_1+x_2>4a \Right 2a>4a \Right a<0[/tex] (Формули на Виет)
[tex]x_1<x_2 \Right x_1=a-\sqrt{(a-1)(a+3)}>2a[/tex]
[tex]\Right \sqrt{(a-1)(a+3)}<-a[/tex]
[tex]\Right a^2+2a-3<a^2[/tex]
[tex]\Right a<\frac{3}{2}[/tex]
Окончателно в този случай [tex]a\in(-\infty ;-3)[/tex]

2 случай:[tex]x < 2a ;\Right |x-2a|=-x+2a[/tex]

[tex]\Right x^2-2ax-3+2a=0[/tex]
[tex]D=4a^2-8a+12>0[/tex] за всяко [tex]a[/tex]
[tex]x_1+x_2=2a; x_1,x_2<2a ;\Right x_1+x_2<4a \Right 2a<4a \Right a>0[/tex] (Формули на Виет)
[tex]x_1<x_2 \Right x_2=a+\sqrt{a^2-2a+3}<2a[/tex]
[tex]\Right \sqrt{a^2-2a+3}<a[/tex]
[tex]\Right a^2-2a+3<a^2[/tex]
[tex]\Right a>\frac{3}{2}[/tex]
Окончателно в този случай [tex]a\in(\frac{3}{2};\infty )[/tex]

[tex]\Right a\in (-\infty ;-3)\cup (\frac{3}{2};\infty )[/tex]