Вписан четириъгълник ABCD

[bqla_sqnka_sf]

НЯКОЙ АКО МОЖЕ ДА ПОМОГНЕ ЩЕ САМ БЛАГОДАРЕН

[ева]

1 зад. ABCD-вписан четир.Нека АВ=4,ВС=6,CD=2,AD=3,K(O;R)-описана
AC=[tex]d_{1 }[/tex]=? BD=[tex]d_{2 }[/tex]=? R=?

ABCD е вписан ,от теоремата на Птолемей получаваме:[tex]d_{1 }[/tex][tex]d_{2 }[/tex]=AB.CD+BC.AD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]d_{1 }[/tex][tex]d_{2 }[/tex]=26 (1)
Нека [tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\beta[/tex],[tex]\angle[/tex]DAB=[tex]\alpha[/tex],от cos T за [tex]\triangle[/tex]АВС и [tex]\triangle[/tex]ACD получаваме
16+36-2.4.6cos[tex]\beta[/tex]=[tex]AC^{2}[/tex]=9+4-2.3.2cos(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]) ...cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{13}{20}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{231}}{20}[/tex]
(sin T за [tex]\triangle[/tex]АВС) [tex]\frac{d_{1 }}{sin\beta}[/tex]=2R [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]d_{1 }[/tex]=[tex]\frac{R\sqrt{231}}{10}[/tex] (2)
По аналогичен начин получаваме [tex]d_{2 }[/tex]=[tex]\frac{R\sqrt{231}}{8}[/tex] (3)
Решаваме системата от (1),(2) и (3) и получаваме:[tex]d_{1 }[/tex]=0,4[tex]\sqrt{130}[/tex] ; [tex]d_{2 }[/tex]=0,5[tex]\sqrt{130}[/tex] ; R=[tex]\frac{4\sqrt{30030}}{231}[/tex]

[inveidar]

1 зад. ABCD-вписан четир.Нека АВ=4,ВС=6,CD=2,AD=3,K(O;R)-описана
AC=[tex]d_{1 }[/tex]=? BD=[tex]d_{2 }[/tex]=? R=?

ABCD е вписан ,от теоремата на Птолемей получаваме:[tex]d_{1 }[/tex][tex]d_{2 }[/tex]=AB.CD+BC.AD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]d_{1 }[/tex][tex]d_{2 }[/tex]=26 (1)
Нека [tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\beta[/tex],[tex]\angle[/tex]DAB=[tex]\alpha[/tex],от cos T за [tex]\triangle[/tex]АВС и [tex]\triangle[/tex]ACD получаваме
16+36-2.4.6cos[tex]\beta[/tex]=[tex]AC^{2}[/tex]=9+4-2.3.2cos(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]) ...cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{13}{20}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{231}}{20}[/tex]
(sin T за [tex]\triangle[/tex]АВС) [tex]\frac{d_{1 }}{sin\beta}[/tex]=2R [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]d_{1 }[/tex]=[tex]\frac{R\sqrt{231}}{10}[/tex] (2)
По аналогичен начин получаваме [tex]d_{2 }[/tex]=[tex]\frac{R\sqrt{231}}{8}[/tex] (3)
Решаваме системата от (1),(2) и (3) и получаваме:[tex]d_{1 }[/tex]=0,4[tex]\sqrt{130}[/tex] ; [tex]d_{2 }[/tex]=0,5[tex]\sqrt{130}[/tex] ; R=[tex]\frac{4\sqrt{30030}}{231}[/tex]

Можеш да минеш и без Птолемей . Намерила си [tex]cos \beta[/tex], връщаш се в косинусовата теорема и веднага намираш [tex]AC[/tex]. Пак така намираш и [tex]BD[/tex].

[S.B.]

Зад.2:Има очевидна грешка в условието,така,че аз ще дам решение,като коригирам данните:ABCD - трапец,АB = 21,AD=BC = 16 (вместо AB = BC =16!),AC = 19;Tърсим R на описаната окр.,[tex]\angleА[/tex] и DC;
Нека отбелжим [tex]\angle[/tex]В = [tex]\beta[/tex] и [tex]\angle[/tex]А = [tex]\alpha[/tex]
От [tex]\triangle[/tex] АBC:По Хероновата формула [tex]S_{ABC } = \sqrt{28.7.12.9} = 84\sqrt{3}[/tex](*);[tex]S_{ABC } = \frac{AB.BC}{2}.sin\beta = \frac{21.16}{2}.sin\beta = 168.sin\beta[/tex](**)
Или след като приравним (*) и (**) получаваме:[tex]168.sin\beta = 84\sqrt{3}[/tex] от където [tex]sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \beta = 60^\circ[/tex]
Трапецът ABCD е равнобедрен (AD = BC) [tex]\Rightarrow \alpha = \beta = 60^\circ[/tex] т.е.[tex]\angle[/tex]А = 60[tex]^\circ[/tex];
Окръжността описана около ABCD съвпада с окръжността описана около [tex]\triangle[/tex]ABC и по синусова теорема за [tex]\triangle[/tex]ABC:
[tex]\frac{AC}{sin\beta} = 2R \Leftrightarrow \frac{19}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R[/tex] от където [tex]R = \frac{19\sqrt{3}}{3}[/tex]
Построяваме CH[tex]\bot[/tex]AB,като H[tex]\in[/tex]AB; [tex]\triangle[/tex]HBC е правоъгълен,[tex]\angle[/tex]B = [tex]60^\circ \Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]HCB = 30[tex]^\circ[/tex][tex]\Rightarrow HB = \frac{BC}{2} = \frac{16}{2} = 8[/tex]
Тъй като трапецът е равнобедрен DC = AB - 2.HB или DC = 21 - 16 = 5