Да се намери сумата

[Block4o]

[tex]cos\alpha+cos3\alpha+cos5\alpha+...+cos(2n-3)\alpha+cos(2n-1)\alpha=?[/tex]



Да се докаже:
[tex]cosx+cos(x+\frac{2\pi}{7})+cos(x+\frac{4\pi}{7})+cos(x+\frac{6\pi}{7})+cos(x+\frac{8\pi}{7})+cos(x+\frac{10\pi}{7})+cos(x+\frac{12\pi}{7})=0[/tex]

[Knowledge Greedy]

Използвай формулата
[tex]sin{\alpha}. \,\ cos{\beta}=\frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)][/tex] няколко пъти ( [tex]n[/tex] пъти).

[Knowledge Greedy]

Означаваме цялата сума със [tex]S[/tex]. Умножаваме я по [tex]2sin\alpha[/tex]. Разглеждаме отделните събираеми на новополучената сума.
[tex]2 \,\sin\alpha \,\ cos\alpha = \,\sin2 \alpha[/tex]

[tex]2 \,\sin\alpha \,\ cos3\alpha = \,\sin4\alpha -sin2 \alpha[/tex]

[tex]2 \,\sin\alpha \,\ cos5\alpha = \,\sin6\alpha -sin4 \alpha[/tex]
...
[tex]2 \,\sin\alpha \,\ cos(2n-3)\alpha = \,\sin(2n-2)\alpha -sin(2n-4) \alpha[/tex]

[tex]2 \,\sin\alpha \,\ cos(2n-1)\alpha = \,\sin2n\alpha -sin(2n-2)\alpha[/tex]

И става ясно, че от умножената сума остава само [tex]sin2n\alpha[/tex], а останалите събираеми се унищожават по двойки.
[tex]2sin\alpha \,\ S= \,\ sin(2n \alpha)[/tex].

Отговор: [tex]S= \frac{sin2n \alpha}{2sin\alpha}[/tex]