Равнобедрен трапец

[Гост]

Острият ъгъл на равнобедрен трапец е [tex]\alpha[/tex], а бедрото и малката му основа са равни на b.Да се намери диагонала на трапеца и R.

[Zarrie]

[tex]\angle BAD=\alpha, AD=BC \Rightarrow \angle BCD = 180-\alpha[/tex]
Нека [tex]\angle DBA = \beta \Rightarrow \angle CDB = \angle CBD = \beta[/tex]
[tex]\angle DCB = 180 - 2\beta = 180-\alpha \Rightarrow \alpha = 2\beta[/tex]
постр. [tex]DH \bot AB = h \Rightarrow sin\alpha = \frac{h}{b} \Rightarrow h =b.sin\alpha[/tex]
Нека диагоналът е d
[tex]sin\beta=\frac{h}{d} \Rightarrow sin\frac{\alpha}{2}=\frac{h}{d}\Rightarrow d=\frac{b.sin \alpha}{sin \frac{\alpha}{2}}[/tex]Използвайки [tex]sin \alpha = 2.sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2} \Rightarrow d=b.cos\frac{\alpha}{2}[/tex]
[tex]\triangle ABD \Rightarrow 2R=\frac{d}{sin\alpha} \Rightarrow R = \frac{b.cos \frac{\alpha}{2}}{2sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{b}{2sin\frac{\alpha}{2}}[/tex]