Спешно домашно sin i cos теореми

[Гост]

Спешно домашно!!
Задача 1: Страните на триъгълник АВС са АВ=12 ВС=6 АС=8. Наюмерете разстоянието от центъра на описаната около триъгълника окръжност до страната АВ.

Задача 2: В триъгълника АВС са дадени ВС=а, ъгълСАВ=алфа и АВ+АС=5а. Намерете радиуса на вписаната в триъгълника окръжност

Задача 3: Намерете:
а) cos15градуса. б)cos75градуса в)sin15градуса г)cos105градуса

[s.karakoleva]

1.
Нека O е центъра на описаната окръжност, OH - разстоянието до AB. [tex][/tex]

[tex]\cos T[/tex] за [tex]\triangle ABC[/tex]

[tex]AB^2=BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot\cos\gamma\Rightarrow\cos\gamma=-\frac{11}{24}\Rightarrow\gamma>90^\circ[/tex]

Следователно, O е извън триъгълника.

м.[tex]\stackrel{\frown}{AB}=2\gamma\ \ (\stackrel{\frown}{AB}[/tex] е дъгата, несъдържаща C)
м.[tex]\stackrel{\frown}{ACB}=360^\circ-2\gamma=\mbox{м.} \angle AOB[/tex](централен ъгъл)
[tex]OH\equiv s_{AB}\Rightarrow OH[/tex]- височина, ъглополовяща и медиана в [tex]\triangle AOB\Rightarrow\angle AOH=\frac12\angle AOB=180^\circ-\gamma[/tex]

[tex]\triangle AOH\Rightarrow[/tex]

[tex]\frac{OH}{AH}=\mathrm{cotg}(180^\circ-\gamma)=-\mathrm{cotg}\gamma=-\frac{\cos\gamma}{\sin\gamma},[/tex]

при което съобразяваме, че [tex]180^\circ -\gamma<90^\circ, \cos\gamma<0, \sin\gamma>0,[/tex] защото [tex]\gamma >90^\circ.[/tex]

[tex]OH=-6\frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}=-\frac{6\cdot \left(-\frac{11}{24}\right)}{+\sqrt{1-\left(-\frac{11}{24}\right)^2}}=\ldots = \frac{ 66\sqrt{455}}{455}[/tex]

[s.karakoleva]

2. Накратко:
От формулата за лице [tex]S=pr[/tex] като се използва даденото [tex]\Rightarrow S=3ar\qquad (1)[/tex]

От формулата за лице [tex]S=\frac{bc}{2}\sin\alpha[/tex]

[tex]cosT\Rightarrow[/tex] [tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha=(b+c)^2-2bc(1+\cos\alpha)\Rightarrow bc=\frac{12a^2}{1+\cos\alpha}[/tex]

[tex]\Rightarrow S=\frac{\frac{12a^2}{1+\cos\alpha}}{2}\sin\alpha\qquad (2)[/tex]

Ot (1) и (2) след преобразуване [tex]r=\frac{a\sin\alpha}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}[/tex]

[s.karakoleva]

3. А)
[tex]\cos 15^\circ=\cos (60^\circ-45^\circ)=\cos 60^\circ\cos 45^\circ+\sin 60^\circ\sin 45^\circ=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}(1+\sqrt3)[/tex]

В) защото се използва в Б.
[tex]\sin 15^\circ=\sin (60^\circ-45^\circ)=\sin 60^\circ\cos 45^\circ-\cos 60^\circ\sin 45^\circ[/tex] нататък се замества

Б). [tex]\cos 75^\circ=\cos(90^\circ-15^\circ)=\sin 15^\circ=\sin (60^\circ-45^\circ)=\sin 60^\circ\cos 45^\circ-\cos 60^\circ\sin 45^\circ[/tex] нататък се замества като в А) и Б)

В) [tex]\cos 105^\circ=\cos (90^\circ+15^\circ)=-\sin 15^\circ[/tex] после като В.