Триъгълник с вписана и описана окръжност

[Block4o]

Дадено:
[tex]\Delta[/tex]ABC
т.I - център на вписаната окръжност
CD - диаметър на описаната окръжност
Да се докаже:
ID²=4R²-ab

[ева]

Ще разгледам частен случай,когато [tex]\triangle[/tex]АВС е правоъг.([tex]\angle[/tex]АСВ=90[tex]^\circ[/tex]);ВС=а,AC=b,АВ=[tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] R=[tex]\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}[/tex]
Tрябва да док.,че [tex]ID^{2}[/tex]=4[tex]R^{2}[/tex]-ab
Предварително ще намерим CI=? , [tex]CI^{2}[/tex]-[tex]\sqrt{2}[/tex]CI(a+b)=?
Нека вписаната K(I;r) допира ВС в т.Т,а АС в т.Q; ITCQ е квадрат със страна -r и диагонал CI т.е.CI=r[tex]\sqrt{2}[/tex] (1)
rp=S(ABC)=[tex]\frac{ab}{2}[/tex] т.е. r=[tex]\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}[/tex] (2) [зам.го в (1)]

CI=[tex]\frac{\sqrt{2}ab}{(a+b)+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}[/tex].[tex]\frac{(a+b)-\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{(a+b)-\sqrt{a^{2}+b^{2}}}[/tex] ... CI=[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex](a+b-[tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex]) (3)

тогава [tex]CI^{2}[/tex]-[tex]\sqrt{2}[/tex]CI(a+b)= ... =-ab (4)
идеята - разгл [tex]\triangle[/tex]IDC,в който [tex]\angle[/tex]DCI=45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex] и прилаг. cos T
[tex]ID^{2}[/tex]=[tex]CD^{2}[/tex]+[tex]CI^{2}[/tex]-2CD.CI.cos(45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex])
[tex]ID^{2}[/tex]=4[tex]R^{2}[/tex]+[tex]CI^{2}[/tex]-2.2R.CI([tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]cos[tex]\beta[/tex]+[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]sin[tex]\beta[/tex]) ; [tex]ID^{2}[/tex]=4[tex]R^{2}[/tex]+[tex]CI^{2}[/tex]-4R.CI[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]([tex]\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}[/tex]+[tex]\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}[/tex])
[tex]ID^{2}[/tex]=4[tex]R^{2}[/tex]-2[tex]\sqrt{2}[/tex]R.CI[tex]\frac{a+b}{2R}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]ID^{2}[/tex]=4[tex]R^{2}[/tex]+[tex]CI^{2}[/tex]-[tex]\sqrt{2}[/tex](a+b)CI [ползваме (4)]
[tex]ID^{2}[/tex]=4[tex]R^{2}[/tex]-ab
Как ли ще го док.в общия случай

[matst]

Пак така може да се приложи cos т-ма за [tex]\triangle IDC[/tex].

Ако в триъгълник ABC [tex]\alpha>\beta[/tex], то в [tex]\triangle IDC[/tex] ъгъл C е равен на
[tex]\gamma/2-(90-\alpha)=\alpha/2-\beta/2[/tex].

Отсечката CI се пресмята с допълнително построение: нека A1 e пресечната точка на ъглополовящата AI с описаната окръжност.
Така,
[tex]\triangle OA_1C[/tex] е равнобедрен(две страни са равни на R и [tex]\angle O=\alpha[/tex])
и [tex]A_1CI[/tex] е равнобедрен ([tex]\angle A_1CI=\angle CIA_1=\alpha/2+\gamma/2[/tex]).
Значи, [tex]CI=2 A_1C \cos(\alpha/2+\gamma/2)=2 .2R\sin(\alpha/2) . \cos(\alpha/2+\gamma/2)=4R\sin(\alpha/2) \sin(\beta/2)[/tex].

Като цяло е по-просто, защото не се смята с тия радикали.