Докажете:

[noobnoob234]

В равностранен триъгълник ABC със страна a е вписана окр. K. Докажете, че за всяка точка M от k е изпълнено:
MA^2 + MB^2 + MC^2= 5/4a^2

2зад. Страните на триъгълник са 13,14 и 15 см. Намерете радиуса на описаната и вписаната окръжност. Определете разстоянието между центровете на тези окръжности.

[martin123456]

[tex]R[/tex]: синусова т-ма: [tex]R=\frac{15}{2\sin{\gamma}}[/tex]. сега трябва да намерим [tex]\sin{\gamma}=\pm \sqrt{1-\cos{\gamma}}[/tex]. сега трябвада намерим [tex]\cos{\gamma}[/tex]. косинусова т-ма: [tex]\cos{\gamma}=\frac{13^2+14^2-15^2}{2.13.14}=\frac{5}{13}[/tex]=>[tex]\gamma < 90^\circ[/tex]=>[tex]\sin{\gamma}=\frac{12}{13}[/tex].=> [tex]R=\frac{15.13}{24}=\frac{65}{8}[/tex]

[tex]r[/tex]: [tex]S=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]=>[tex]r=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}[/tex]. [tex]p=\frac{13+14+15}{2}=21[/tex]. [tex]r=\frac{\sqrt{21.8.6.7}}{21}=\frac{4^2.3^2.7^2}{21}=\frac{4.3.7}{21}=4[/tex]

[tex]IO[/tex]: нека [tex]IH \bot AB[/tex], [tex]AM=MB[/tex], [tex]CL[/tex] ъглополовяща. да определим как са наредени [tex]L[/tex] и [tex]M[/tex]. от с-во на ъглополовящата [tex]\frac{AL}{LB}=\frac{13}{14}[/tex]. значи [tex]L[/tex] е по близко до [tex]A[/tex] отколкото [tex]M[/tex]. сега да видим къде е [tex]H[/tex]. за целта ни интересува [tex]\angle ALC[/tex]. ако е остър, то [tex]H \in \overline{AL}[/tex]. [tex]\cos{\angle ALC}=\frac{AL^2+LC^2-AC^2}{2.AL.LC}[/tex]. интересува ни числителят по знак. [tex]AL=13x[/tex], [tex]LB=14x[/tex]=>[tex]27x=15[/tex]=>[tex]AL=\frac{13.15}{27}=\frac{13.5}{9}=\frac{65}{9}[/tex]. [tex]LB=\frac{14.15}{27}=\frac{70}{9}[/tex]. [tex]LC^2=13.14-\frac{13.14.15^2}{27^2}=13.14\frac{(27+15)(27-15)}{27^2}=\frac{13.14.14.4}{81}[/tex]=>[tex]CL=\frac{28}{9}\sqrt{13}[/tex]=> числител е [tex]\frac{65^2}{81}+\frac{13.14.14.4}{81}-13^2 > 0[/tex] => остър. значи [tex]H[/tex] е преди [tex]L[/tex].
имаме трапец [tex]MOIH[/tex]. да видим коя му е по голямата основа. [tex]\Delta OBM[/tex]: [tex]OM=\sqrt{\frac{65^2}{64}-\frac{225}{4}}=\sqrt{\frac{65^2}{64}-\frac{3600}{64}}=\frac{25}{8}<4[/tex]=>[tex]IH>OM[/tex].
спусакме [tex]ON \bot HI[/tex].[tex]IO^2=IN^2+NO^2=(r-OM)^2+HM^2[/tex]. така че намери и къде е [tex]H[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]R[/tex]: синусова т-ма: [tex]R=\frac{15}{2\sin{\gamma}}[/tex]. сега трябва да намерим [tex]\sin{\gamma}=\pm \sqrt{1-\cos{\gamma}}[/tex]. сега трябвада намерим [tex]\cos{\gamma}[/tex]. косинусова т-ма: [tex]\cos{\gamma}=\frac{13^2+14^2-15^2}{2.13.14}=\frac{5}{13}[/tex]=>[tex]\gamma < 90^\circ[/tex]=>[tex]\sin{\gamma}=\frac{12}{13}[/tex].=> [tex]R=\frac{15.13}{24}=\frac{65}{8}[/tex]

[tex]r[/tex]: [tex]S=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]=>[tex]r=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}[/tex]. [tex]p=\frac{13+14+15}{2}=21[/tex]. [tex]r=\frac{\sqrt{21.8.6.7}}{21}=\frac{4^2.3^2.7^2}{21}=\frac{4.3.7}{21}=4[/tex]

[tex]IO[/tex]: нека [tex]IH \bot AB[/tex], [tex]AM=MB[/tex], [tex]CL[/tex] ъглополовяща. да определим как са наредени [tex]L[/tex] и [tex]M[/tex]. от с-во на ъглополовящата [tex]\frac{AL}{LB}=\frac{13}{14}[/tex]. значи [tex]L[/tex] е по близко до [tex]A[/tex] отколкото [tex]M[/tex]. сега да видим къде е [tex]H[/tex]. за целта ни интересува [tex]\angle ALC[/tex]. ако е остър, то [tex]H \in \overline{AL}[/tex]. [tex]\cos{\angle ALC}=\frac{AL^2+LC^2-AC^2}{2.AL.LC}[/tex]. интересува ни числителят по знак. [tex]AL=13x[/tex], [tex]LB=14x[/tex]=>[tex]27x=15[/tex]=>[tex]AL=\frac{13.15}{27}=\frac{13.5}{9}=\frac{65}{9}[/tex]. [tex]LB=\frac{14.15}{27}=\frac{70}{9}[/tex]. [tex]LC^2=13.14-\frac{13.14.15^2}{27^2}=13.14\frac{(27+15)(27-15)}{27^2}=\frac{13.14.14.4}{81}[/tex]=>[tex]CL=\frac{28}{9}\sqrt{13}[/tex]=> числител е [tex]\frac{65^2}{81}+\frac{13.14.14.4}{81}-13^2 > 0[/tex] => остър. значи [tex]H[/tex] е преди [tex]L[/tex].
имаме трапец [tex]MOIH[/tex]. да видим коя му е по голямата основа. [tex]\Delta OBM[/tex]: [tex]OM=\sqrt{\frac{65^2}{64}-\frac{225}{4}}=\sqrt{\frac{65^2}{64}-\frac{3600}{64}}=\frac{25}{8}<4[/tex]=>[tex]IH>OM[/tex].
спусакме [tex]ON \bot HI[/tex].[tex]IO^2=IN^2+NO^2=(r-OM)^2+HM^2[/tex]. така че намери и къде е [tex]H[/tex]

Блестящо. каквто винаги:)
[tex]OI^2=R^2-2Rr[/tex]

[ganka simeonova]

Първата задача определено много ми хареса. Вместо M ще ползвам N, защото имам проблем с клавиатурата относно писането на м голямо.
Означаваме [tex]NP=x; NT=y; NQ=z; \angle CTN=\angle NQT=\alpha=>\angle CPN=\angle PQN=60^\circ- \alpha[/tex]
Прилагаме косинусови теореми :
[tex]\Delta CNT: CN^2=\frac{a^2}{ 4} +y^2-aycos\alpha[/tex]
[tex]\Delta CPN: CN^2=\frac{a^2}{ 4} +x^2-axcos(60^\circ -\alpha)[/tex]
[tex]\Delta BNT: BN^2=\frac{a^2}{ 4} +y^2+aycos\alpha[/tex]
[tex]\Delta NQB: BN^2=\frac{a^2}{ 4} +z^2-azcos(60^\circ +\alpha)[/tex]
[tex]\Delta APN: AN^2=\frac{a^2}{ 4} +x^2+axcos(60^\circ -\alpha)[/tex]
[tex]\Delta AQN: AN^2=\frac{a^2}{ 4} +z^2+azcos(60^\circ +\alpha)[/tex]

Събираме и делим на 2. Получаваме [tex]AN^2+BN^2+CN^2=\frac{3a^2}{4 } +x^2+y^2+z^2[/tex](*)
Но, т.к. [tex]\Delta PQT[/tex] e равностранен и т.N е от описаната окр=>[tex]x+y=z[/tex] (ОЗ)
Повдигаме на квадрат=>[tex]x^2+y^2+2xy=z^2[/tex] Прибавяме към двете страни [tex]x^2+y^2[/tex]=>
[tex]2(x^2+y^2+xy)=x^2+y^2+z^2[/tex]
От кос. т-ма за [tex]\Delta PNT=>x^2+y^2+xy=\frac{a^2}{4 } =>x^2+y^2+z^2=\frac{a^2}{ 2}[/tex]
[tex](*)=>AN^2+BN^2+CN^2=\frac{3a^2}{4 } +\frac{a^2}{2 } =\frac{5a^2}{4 }[/tex]