Равнобедрен триъгълник

[Гост]

В окръжност е вписан остроъгълен равнобедрен триъгълник. Да се намери лицето му, ако разстоянието от центъра на окръжността до бедрото и до основата му са съответно 15см и 7см.

[ptj]

[tex]\Delta ABC[/tex] ; [tex]AC=BC[/tex] ; т.[tex]О[/tex] - център на описана окръжност;

[tex]ОN[/tex] и [tex]OM[/tex] са перпендикуляри съответно към [tex]АB[/tex] и [tex]BC[/tex].

[tex]\angle AOB=2 \gamma[/tex] (вписания ъгъл се измерва с половина дъга, а централния с цяла)

[tex]7=ОN=OH.cos \gamma=OH.(1-2sin^2\frac{\gamma}{2})[/tex]

аналогично [tex]15=OM=ОH.cos\alpha[/tex]

при равнобeдрен триъгълник [tex]\alpha=90^\circ-\frac{\gamma}{2}[/tex], т.е. [tex]15=ОH.cos(90-\frac{\gamma}{2})=ОH.sin\frac{\gamma}{2}[/tex]

[tex]\frac{7}{1-2sin^2\frac{\gamma}{2}}=OH=\frac{15}{sin\frac{\gamma}{2}}[/tex]

[tex]30sin^2\frac{\gamma}{2}+7sin\frac{\gamma}{2}-15=0[/tex]

[tex](5 sin\frac{\gamma}{2}-3)(6sin\frac{\gamma}{2}+5)=0[/tex]

[tex]sin\frac{\gamma}{2}=\frac{3}{5}[/tex] , защото [tex]0<\frac{\gamma}{2}<90^\circ[/tex]

Останалата част е лесна.

[Евва]

[tex]\triangle[/tex]АВС (АС=ВС) вписан в окр.K(O;R) ,нека ОЕ и ОН са височини съответно в [tex]\triangle[/tex]ОВС и [tex]\triangle[/tex]АВО ,ОЕ=15 см.,ОН=7 см.
R=?
[tex]\triangle[/tex]ОВС е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] височината ОЕ е и медиана [tex]\Rightarrow[/tex] ВС=2СЕ
[tex]\triangle[/tex]НВС[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ОЕС (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{СН}{СЕ}[/tex]=[tex]\frac{ВС}{ОС}[/tex] т.е. [tex]\frac{7+R}{CE}[/tex]=[tex]\frac{2CE}{R}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]CE^{2}[/tex]=[tex]\frac{R^{2}+7R}{2}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]ОЕС е правоъгълен [tex]СЕ^{2}[/tex]+[tex]15^{2}[/tex]=[tex]R^{2}[/tex] (2) Заместваме (1) в (2) и получаваме: [tex]R^{2}[/tex]-7R-450=0 [tex]\Rightarrow[/tex] R=25 см.

Скрит текст: покажи

Вторият корен е <0 и отпада,връщаме се към (2) .

[tex]СЕ^{2}[/tex]=625-225 ; СЕ=20 см.[tex]\Rightarrow[/tex] ВС=40 см.
[tex]\triangle[/tex]НВС е правоъгълен [tex]НВ^{2}[/tex]+[tex]НС^{2}[/tex]=[tex]ВС^{2}[/tex] ; ([tex]\frac{АВ}{2})^{2}[/tex]+([tex]7+25)^{2}[/tex]=[tex]40^{2}[/tex] ... АВ=48 см.
[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{AB.CH}{2}[/tex]=[tex]\frac{48.32}{2}[/tex]=768 [tex]см.^{2}[/tex]