Тригонометрия

[Гост]

Здравейте има нещо което не разбирам как може ако са ми дадени 2 синуса или косинуса на 2 ъгъла да намеря на 3-тия синусът или косинусът:
напр. Синусите на 2 остри ъгъла са 4/5 и 40/41. Да се намери косинусът на третия.
напр. Ако [tex]\alpha[/tex] + \beta = 60(градуса) . Може ли да се намери косинусът на 3 тия ъгъл в триъгълника.

[math10.com]

[tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex] са ъгли на триъгълник [tex]\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=180^\circ \Rightarrow \gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)[/tex]
Нека [tex]sin \alpha =a ; sin \beta=b ; \alpha<90^\circ,\beta<90^\circ \Rightarrow cos \alpha=\sqrt{1-sin^2 \alpha}=\sqrt{1-a^2} ; cos \beta=\sqrt{1-sin^2 \beta}=\sqrt{1-b^2}[/tex]
[tex]cos {(180^\circ-x)}=-cos x \Rightarrow cos \gamma =cos {(180^\circ-(\alpha+\beta))}=-cos {(\alpha+\beta)}=-cos \alpha.cos \beta+sin \alpha.sin \beta[/tex]
[tex]\Rightarrow cos \gamma=a.b-\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}[/tex]

Сега за твойта задача [tex]sin \alpha=a=\frac{4}{5} ; sin \beta=b=\frac{40}{41} \Rightarrow cos \gamma=\frac{4}{5}.\frac{40}{41}-\sqrt{1-\frac{16}{25}}.\sqrt{1-\frac{1600}{1681}}=\frac{160}{205}-\frac{3}{5}.\frac{9}{41}=\frac{160}{205}-\frac{27}{205}=\frac{133}{205}[/tex]

[Гост]

Благодаря ти много! само да попитам винаги ли когато имаме такъв тип задача можем я решаваме така.

[math10.com]

Винаги може да решаваме по този начин.Единствено трябва да съобразим знака на косинуса в зависимост от големината на ъгъла.При тъпи ъгли косинуса е отрицателен т.е пред корена ще има знак минус.Аналогично се смята ако са дадени косинусите и търсим синусите.Ако пък е даден тангенс или котангенс се постъпва така:
[tex]tg \alpha= a \Rightarrow \frac{sin \alpha}{cos \alpha}=a \Rightarrow sin \alpha=a.cos \alpha[/tex]
Сега използваме формулата:[tex]sin ^2 \alpha+cos ^2 \alpha=1 \Rightarrow (acos \alpha)^2+cos ^2\alpha=1 \Rightarrow cos \alpha=\pm\sqrt{\frac{1}{a^2
+1}}=\pm\frac{\sqrt{a^2+1}}{a^2+1}[/tex]
и за синуса: [tex]sin \alpha=\pm\frac{a\sqrt{a^2+1}}{a^2+1}[/tex]
Тук отново трябва да съобразим знаците в зависимост от големината на ъгъл алфа......

[Гост]

Аха, благодаря много за изчерпателните отговори само последно да питам ако напр. имаме 2/5*корен КВАДРАТЕН от отрицателно число този корен отпада ли или става нула и какво става с 2/5

[Knowledge Greedy]

Не би трябвало да коренуваш такова число.
Не се коренуват отрицателни числа.

[mimitu123]

Моля помогнете със тази задача спешно е

Даден е [tex]\Delta[/tex] ABC със страни а=14см, b=30см, c=40см. Намерете:
а) S
б) hb
в) sin\beta
г) R
д) r

[Knowledge Greedy]

Ключов факт в решението е полупериметърът [tex]p[/tex] на триъгълника. [tex]\,\ p=\frac{a+b+c}{2}[/tex].

С херонова формула ще откриеш лицето [tex]S[/tex]. Знаеш я.

Височината [tex]h_b[/tex] ще ти даде формулата за лицето [tex]S=\frac{bh_b}{2}[/tex]

С трета формула за лицето [tex]S=\frac{1}{2}acsin\beta[/tex] ще намериш [tex]sin\beta[/tex]

С още една формула за лицето [tex]S=\frac{abc}{4R}[/tex] ще изчислиш [tex]R[/tex]

А ако се интересуваш от радиуса на вписаната окръжност, използвай формулата за лицето [tex]S=pr[/tex]
_________________
[tex]\,\ p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{14+30+40}{2}=42[/tex]
Хероновата формула: [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]