Доказателство

[Гост]

Дадено:
ΔABC т.I - център на вписаната окръжност CD - диаметър на описаната окръжност
Да се докаже: ID²=4R²-ab

[Knowledge Greedy]

Да продължим [tex]CI[/tex] до средата [tex]N[/tex] на дъгата [tex]\widehat{AB}[/tex] от описаната около [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност, несъдържаща върха C.
От правоъгълния [tex]\Delta IDN[/tex] по теоремата на Питагор [tex]ID^2=DN^2+IN^2 \,\ (\ast)[/tex]
Знаем, че [tex]IN=IB=2Rsin\frac{\gamma}{2}[/tex].
Знаем също, че [tex]\angle DCN=\frac{\beta - \alpha}{2}[/tex] (ще приемем, че [tex]\beta > \alpha[/tex]) и така имаме [tex]DN=2Rsin\frac{\beta - \alpha}{2}[/tex].
Заместваме в [tex](\ast)[/tex] и получаваме [tex]ID^2=4R^2 \left ( sin^2\frac{\beta - \alpha}{2} +sin^2\frac{\gamma}{2} \right )[/tex],
откъдето с понижаване на степента
[tex]ID^2=4R^2 \left [1- \frac{1}{2} \left ( cos(\beta - \alpha)+cos\gamma \right ) \right ][/tex].
С формулата за приведение сбор на косинуси и две синусови теореми се убеждаваме, че последното равенство е еквивалентно на т. к. т. д.