Ромб с остър ъгъл 60 градуса и сбор к от диагоналите му

[Гост]

Да се намери лицето на ромб с остър ъгъл 60 градуса и сбор к от диагоналите му.

[Добромир Глухаров]

[tex]S=a^2.sin60^\circ=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{d_1d_2}{2}[/tex]

[tex]\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2=a^2[/tex]

[tex]d_1^2+d_2^2=4a^2[/tex]

[tex](d_1+d_2)^2-2d_1d_2=4a^2[/tex]

[tex]k^2-4S=4\frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8S}{\sqrt{3}}[/tex]

[tex]\frac{8S}{\sqrt{3}}+4S=k^2[/tex]

[tex]\frac{8+4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}S=k^2[/tex]

[tex]S=\frac{\sqrt{3}}{8+4\sqrt{3}}k^2=\frac{k^2}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{3}-3}{4-3}\cdot\frac{k^2}{4}=\frac{2\sqrt{3}-3}{4}k^2[/tex]