ромб

[Гост]

В ромба АВСD височината DH и диагоналът АС се пресича в точка N. Ако DH:NH = 4:3. JF IRKWICJ KD [tex]\angle[/tex]DAB e равен на колко?
Помагайте :))

[Гост]

то синусът на [tex]\angle[/tex]DAB=? малко съм объркала тук ... :))

[Добромир Глухаров]

[tex]\frac{DH}{NH}=\frac{4}{3}[/tex] не може да е изпълнено за никой ромб. Може би [tex]\frac{DN}{NH}=\frac{4}{3}[/tex]?

Тогава [tex]\frac{DH}{NH}=\frac{7}{3}[/tex].

[tex]7NH=3DH[/tex]

[tex]\Delta ABC[/tex] - Косинусова Теорема.

[tex]AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.cos\angle ABC=2a^2+2a^2.cos\angle BAD[/tex]

Аналогично [tex]\Delta ABD[/tex] - Косинусова Теорема. - [tex]BD^2=2a^2-2a^2cos\angle BAD[/tex]

Нека [tex]\angle BAD=\alpha[/tex]

[tex]\Delta AHD[/tex] - правоъгълен [tex]\Rightarrow AH=ADcos\alpha=acos\alpha[/tex]

[tex]DH=asin\alpha\Rightarrow 7NH=3asin\alpha[/tex]

[tex]\Delta ABO\sim\Delta ANH\Rightarrow \frac{AH}{AO}=\frac{NH}{BO}[/tex]

[tex]NH=\frac{BO}{AO}acos\alpha=\frac{BD}{AC}acos\alpha=\sqrt{\frac{\cancel{2a^2}(1-cos\alpha)}{\cancel{2a^2}(1+cos\alpha)}}\cdot acos\alpha[/tex]

[tex]7NH=3DH\Rightarrow 7\cancel{a}cos\alpha\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}}=3\cancel{a}sin\alpha[/tex]

[tex]7\sqrt{\frac{2sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{2cos^2{\frac{\alpha}{2}}}}=3tg\alpha[/tex]

[tex]\frac{7sin{\frac{\alpha}{2}}}{cos{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{6sin{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}}{cos^2{\frac{\alpha}{2}}-sin^2{\frac{\alpha}{2}}}[/tex]

[tex]7cos^2{\frac{\alpha}{2}}-7sin^2{\frac{\alpha}{2}}=6cos^2{\frac{\alpha}{2}}[/tex]

[tex]cos^2{\frac{\alpha}{2}}=7sin^2{\frac{\alpha}{2}}[/tex]

[tex]tg^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{7}\Rightarrow tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{7}[/tex]

[tex]sin\alpha=\frac{2tg{\frac{\alpha}{2}}}{1+tg^2{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{\frac{2\sqrt{7}}{7}}{1+\frac{1}{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7+1}=\frac{\sqrt{7}}{4}[/tex]

[Добромир Глухаров]

Разбира се, има и много по-лесен начин .

Диагоналите на ромба са ъглополовящи. В [tex]\Delta AHD[/tex] [tex]AN[/tex] е ъглополовяща. От свойство на ъглополовящата [tex]AH:AD=NH:ND=3:4[/tex]. Но [tex]AH:AD=cos\angle BAD\Rightarrow cos\angle BAD=\frac{3}{4}\Rightarrow sin\angle BAD=\sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{16-9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}[/tex]

А ако приемем [tex]DH:NH=4:3\Rightarrow DN:NH=(DH-NH):NH=[/tex]
[tex]=DH:NH-1=4:3-1=1:3\Rightarrow AD:AH=1:3\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow AH:AD=3\Rightarrow cos\angle BAD=3[/tex] - невъзможно.