Трапец - голяма основа : малък диагонал : малка основа=9:7:6

[Гост]

Трапец със бедра 9см. и 12см. и отношение на голяма основа : малък диагонал : малка основа . 9:7:6. Да се намери лицето на трапеца.

[Knowledge Greedy]

Означения - на чертежа.

Трапец с бедра и отношения на основи и....PNG (4.99 KiB) Прегледано 493 пъти

Две косинусови теореми дават
[tex]12^2=(9x)^2+(7x)^2-2.9.7.x^2cos\varphi[/tex]
[tex]9^2=(6x)^2+(7x)^2-2.6.7.x^2cos\varphi[/tex]

Първото уравнение умножаваме по [tex]2[/tex], а второто по [tex]3[/tex] и ги изваждаме. По този начин изключваме [tex]cos\varphi[/tex]
и остава
[tex](2.81-49-3.36)x^2=2.12^2-3.9^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]5x^2=45 \,\ \Rightarrow \,\ x=3[/tex]

Следователно основите му са [tex]AB=27[/tex] и [tex]CD=18[/tex].
След това построяваме успоредна на едното бедро през връх на другото бедро.

Трапец с бедра и отношения на основи и...2.PNG (4.64 KiB) Прегледано 493 пъти

С хероновата формула намираме лицето на получения триъгълник [tex]\Delta FBC[/tex] .
[tex]S_{\Delta FBC}=18\sqrt{5}[/tex]
Следователно височината на [tex]\Delta FBC[/tex] към основата [tex]FB[/tex] (която е и височина на трапеца) е [tex]4\sqrt{5}[/tex].
За лицето на трапеца намираме [tex]90\sqrt{5}[/tex].
___________________
Последната чест може да се довърши като съберем лицата на триъгълниците [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\Delta ACD[/tex], предварително намирайки [tex]cos\varphi=\frac{19}{21}[/tex]; след това [tex]sin\varphi =\frac{4\sqrt{5}}{21}[/tex] и два пъти формулата за лице на триъгълник [tex]S=\frac{1}{2}absin\gamma[/tex].