Да се намери лицето на равнобедрен трапец

[Гост]

Да се намери лицето на равнобедрен трапец описан около окръжност с остър ъгъл 60∘ и диагонал [tex]\frac{\sqrt{7}}{2}[/tex]

[Добромир Глухаров]

Равнобедрен грапец.png (11.15 KiB) Прегледано 185 пъти

[tex]ABCD[/tex] - описан [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow AB+CD=AD+BC\Rightarrow AD_1+D_1C_1+C_1B+CD=2AD\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow 2ADcos 60^\circ+2CD=2AD\Rightarrow CD=AD-ADcos60^\circ=AD-\frac{AD}{2}=\frac{AD}{2}[/tex]

[tex]CD=\frac{AD}{2}\ (1)[/tex]

[tex]C_1D_1=AB-2AD_1=AB-AD\ (AD_1=\frac{1}{2}AD[/tex] - катет срещу ъгъл [tex]30[/tex] градуса в правоъгълния [tex]\Delta AD_1D[/tex])

[tex]\frac{AD}{2}=CD=C_1D_1=AB-AD\Rightarrow \fbox{AB=\frac{3}{2}AD}\ (2)[/tex]

[tex]BD=\frac{\sqrt{7}}{2}\ (3)[/tex]

[tex]\Delta ABD[/tex] - Косинусова Теорема.

[tex]BD^2=AD^2+AB^2-2AB.AD.cos 60^\circ[/tex]

[tex](2)\cup(3)\Rightarrow\frac{7}{4}=AD^2+\left(\frac{3}{2}AD\right)^2-2\cdot\frac{3}{2}AD.AD\cdot\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\frac{7}{4}=\frac{13}{4}AD^2-\frac{3}{2}AD^2=\frac{7}{4}AD^2\Rightarrow AD=1[/tex]

[tex](2)\Rightarrow AB=\frac{3}{2}[/tex]

[tex](1)\Rightarrow CD=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\Delta AD_1D[/tex] - Питагорова Теорема - [tex]DD_1^2=AD^2-AD_1^2=1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}[/tex]

[tex]h=DD_1=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot DD_1=\frac{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]