Равностранен триъгълник

[Гост]

В окръжност е вписан остроъгълен равнобедрен триъгълник. Да се намери лицето му, ако разстоянието от центъра на окръжността до бедрото и до основата му са съответно 15см. и 7 см.

[ева]

[tex]\triangle[/tex]АВС-равнобедрен (АС=ВС);К(О;R)
т.М[tex]\in[/tex]АС,т.Н[tex]\in[/tex]АВ,като ОМ[tex]\bot[/tex]АС и ОН[tex]\bot[/tex]АВ;ОМ=15см.;ОН=7см.
Правата ОМ пресича К в т.Т,т.Р,като т.Т[tex]\in[/tex]дъгата АС,т.Р[tex]\in[/tex]дъгата ВС.
Правата СН пресича К в т.Е[tex]\in[/tex]дъгата АВ.
АС=ВС=а;АВ=с;[tex]S_{\triangle }[/tex]=?
TM.PM=AM.CM [tex]\Rightarrow[/tex] (R-15)(R+15)=[tex]\frac{a^{2}}{4}[/tex] (1)
EH.CH=AH.BH[tex]\Rightarrow[/tex] (R-7)(R+7)=[tex]\frac{c^{2}}{4}[/tex] (2)
[tex]\triangle[/tex]AHC-правоъг.[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{с^{2}}{4}[/tex]+[tex](R+7)^{2}[/tex]=[tex]a^{2}[/tex] (3)
Решаваме с-та а,с зам.в (3)[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]R^{2}[/tex]-49+[tex]R^{2}[/tex]+14R+49=4([tex]R^{2}[/tex]-225)
-2[tex]R^{2}[/tex]-14R+4[tex]R^{2}[/tex]-900=0
[tex]R^{2}[/tex]-7R-450=0
D=49+1800=1849=[tex]43^{2}[/tex]
[tex]R_{1 }[/tex]=25см.;[tex]R_{2 }[/tex]<0 отпада;с=АВ=48см.
S=[tex]\frac{AB.CH}{2}[/tex]=[tex]\frac{48(25+7)}{2}[/tex]=768
S=768[tex]см^{2}[/tex]